关于极小化函数绝对值与带非负约束的函数极小化问题解的差异的求证

嘿，这个问题问得很到位！这两个优化问题的解确实有可能不同，我给你举个清晰的例子，再帮你梳理下背后的逻辑。

先看一个直观的分段函数例子 #

我们定义这样一个分段函数：
$$
f(x) =
\begin{cases}
-1 & \text{当 } x < 0 \
3 & \text{当 } x \geq 0
\end{cases}
$$

• 对于Problem 1（$\min_x |f(x)|$）：
  当$x<0$时，$|f(x)|=1$；当$x≥0$时，$|f(x)|=3$。显然绝对值的最小值是1，对应的解是所有$x<0$的点。

• 对于Problem 2（$\min_x f(x) ; : ; f(x) \geq 0$）：
  可行域是$x≥0$（只有这部分满足$f(x)≥0$的约束），在这个区域里$f(x)$恒等于3，所以最小值是3，对应的解是所有$x≥0$的点。

很明显，这两个问题的解完全不重叠，最小值也不一样。

再看连续函数的情况 #

如果$f(x)$是连续函数，情况会稍微特殊一点：

• 如果$f(x)$存在零点（即存在$x^*$使得$f(x)=0$），那$x^$同时是两个问题的解：
  • 对Problem1来说，$|f(x^*)|=0$是绝对值的最小值；
  • 对Problem2来说，$f(x^*)=0$满足约束，同时也是可行域里的最小值（毕竟约束要求$f(x)≥0$，0是最小的非负数）。
• 如果$f(x)$没有零点：
  • 若$f(x)$恒正，那两个问题完全等价，解也一模一样；
  • 若$f(x)$恒负，那Problem2的可行域是空集（没有满足$f(x)≥0$的点），因此无解；而Problem1有解（即$f(x)$取最大值的点，因为此时绝对值最小）。

总结差异的核心原因 #

两个问题的本质区别在于：

• Problem1允许$f(x)$取任意值，我们要找的是让$f(x)$最接近0的点（不管正负）；
• Problem2只考虑$f(x)$非负的区域，我们要找的是这个区域里$f(x)$最小的点（只能是非负数）。

当$f(x)$在负区域的绝对值小于非负区域的最小值时，两个问题的解就会出现差异——就像前面的分段函数例子，负区域的绝对值是1，非负区域的最小值是3，自然解完全不同。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sean