关于利用ZFC公理证明x={{x}}不是合法集合的技术问询

嘿，这个问题问得挺关键的！我们完全可以直接从ZFC的**正则公理（Foundation Axiom）**出发，严谨地证明$x = {{x}}$不可能是一个合法集合，不用绕远路到秩的概念（当然秩的思路也成立，但正则公理是更直接的工具）。

先回忆一下正则公理的准确表述：

对于任意非空集合$A$，存在至少一个元素$y \in A$，使得$y \cap A = \emptyset$。

简单来说，正则公理禁止了集合里出现“无限递降的属于链”（比如$a_1 \ni a_2 \ni a_3 \ni ...$这种无限套娃的情况），而$x = {{x}}$正好是这种套娃的典型，我们可以通过反证法来推导矛盾：

反证法步骤 #

1. 假设存在这样的集合：先假设存在集合$x$满足$x = {{x}}$，显然$x$是非空集合（它包含元素${x}$）。
2. 应用正则公理到$x$：根据正则公理，$x$中必须存在一个元素$y$，使得$y \cap x = \emptyset$。但$x$里只有一个元素，就是${x}$，所以$y = {x}$。
3. 推导交集非空：现在计算$y \cap x$，也就是${x} \cap {{x}}$。因为$x = {{x}}$，所以${x}$的元素是$x$（也就是${{x}}$），而${{x}}$的元素是${x}$。那有没有元素同时属于这两个集合？
   • 假设$z$是这个交集的元素，那么$z \in {x}$且$z \in {{x}}$，这意味着$z = x$且$z = {x}$，也就是$x = {x}$。
   • 但如果$x = {x}$，再应用正则公理到$x$：$x$的元素只有$x$，那么$x \cap x = x \neq \emptyset$，直接违反了正则公理的要求。
4. 矛盾得出结论：整个推导过程出现了矛盾，说明我们最开始的假设（存在$x = {{x}}$）不成立，因此这个定义的集合在ZFC中是不合法的。

补充：用秩的思路验证 #

你提到的“${x}$的秩比$x$高”的思路也能佐证这一点：

• 在ZFC中，每个集合的秩$rank(S)$是一个序数，定义为$rank(S) = \sup{rank(y)+1 \mid y \in S}$。
• 如果$x = {{x}}$，那么$rank(x) = rank({{x}}) = rank({x}) + 1 = (rank(x)+1) + 1 = rank(x)+2$。
• 这就导致$rank(x) = rank(x)+2$，而序数的加法是严格递增的，显然不可能成立，这也从另一个角度证明了这种集合不存在。不过要注意，秩的定义本身依赖于正则公理，所以本质上还是正则公理在起作用。

总结一下，不管是直接用正则公理找矛盾，还是用秩的性质推导，核心都是ZFC的正则公理排除了这种循环套娃的集合结构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Donut