关于满足连续函数方程$f(x)f(x+2)+f(x+1)=0$的函数存在无穷多零点的证明求助

问题描述 #

设$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是连续函数，满足对所有$x\in\mathbb{R}$，有：
$$f(x)f(x+2)+f(x+1)=0$$
需要证明：存在无穷多个实数$x$使得$f(x)=0$。

我的思路（通过观察推导） #

我尝试分情况讨论，目前有了一些进展：

• 首先令$x=0$，代入原方程得到：
  $$f(0)f(2)+f(1)=0 \tag{Eq1}$$
• 情况1：$f(0)=0$
  • 把$f(0)=0$代入Eq1，直接得出$f(1)=0$；再令$x=1$代入原方程，得到$f(1)f(3)+f(2)=0$，因为$f(1)=0$，所以$f(2)=0$。
  • 顺着这个思路归纳下去，很容易证明对所有自然数$n\in\mathbb{N}$，都有$f(n)=0$，这样就找到了无穷多个零点。
• 情况2：$f(0)>0$
  • 由Eq1可以推出$f(1)$和$f(2)$的符号相反，比如假设$f(1)<0$、$f(2)>0$。
  • 因为$f$是连续函数，根据介值定理（IVT），在区间$(1,2)$内一定存在某个$c$，使得$f(c)=0$。
  • 同样可以归纳证明，对所有自然数$n\in\mathbb{N}$，$f(n+c)=0$，这也得到了无穷多个零点。

我卡住的地方 #

当$f(0)<0$时，从Eq1能看出$f(1)$和$f(2)$的符号相同，这时候我完全不知道该怎么继续推导了。有没有针对这个情况的小提示，或者有没有其他不同的证明思路可以绕开这个困境？提前感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Igor Souza