证明映射p的连续性以验证商空间与ℝ²同胚的技术问题咨询

你好，我来帮你梳理这个分段映射连续性的证明思路，你已经选好分情况讨论的方向非常正确，我们把每个细节补全，尤其是闭单位球边界点的衔接部分——这是这类分段定义映射连续性的核心难点：

首先先明确映射的定义，方便后续讨论：

设映射 $p: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ 定义为：

• 对所有 $x \in \bar B_1(0) := D$（闭单位球），$p(x)=0$；
• 对所有 $x \notin D$，$p(x) = \frac{\lVert x \rVert -1}{\lVert x \rVert}x$。

我们分三个场景逐一验证连续性：

1. 开单位球内部的点（$x \in \text{int}(D)$，即$\lVert x \rVert < 1$） #

这部分非常直观：$p$在开单位球内恒取0值，对于任意开集$V \subseteq \mathbb R^2$：

• 如果$0 \in V$，那么$p^{-1}(V)$包含整个开单位球（显然是$\mathbb R^2$中的开集）；
• 如果$0 \notin V$，那么$p^{-1}(V)$与开单位球无交集，只需要考虑球外部分的原像，后续会验证球外的连续性，所以这部分自然满足连续的定义。

2. 闭单位球外部的点（$x \notin \bar{D}$，即$\lVert x \rVert > 1$） #

先把$p(x)$改写一下，方便用连续函数的性质推导：
$$p(x) = \frac{\lVert x \rVert -1}{\lVert x \rVert}x = x - \frac{x}{\lVert x \rVert}$$
这里$x \mapsto x$是显然的连续映射；而$x \mapsto \frac{x}{\lVert x \rVert}$也是连续的——因为$\lVert x \rVert > 1$，分母不会为0，范数函数$\lVert \cdot \rVert$连续，向量的数乘运算也连续，两个连续函数的差自然还是连续函数，所以$p$在球外区域连续。

如果你想用$\varepsilon-\delta$定义严格证明，也可以基于你已经得到的不等式继续推导：
我们有$\lVert p(x) - p(y) \rVert \leq \lVert x-y \rVert + \left\lVert \frac{x}{\lVert x \rVert} - \frac{y}{\lVert y \rVert} \right\rVert$，对于非零向量$x,y$，有一个常用的估计：
$$\left\lVert \frac{x}{\lVert x \rVert} - \frac{y}{\lVert y \rVert} \right\rVert \leq \frac{2}{\min(\lVert x \rVert, \lVert y \rVert)} \lVert x-y \rVert$$
因为$\lVert x \rVert >1$，取$\delta$足够小（比如$\delta < \lVert x \rVert -1$），就能保证$y$也在球外，此时$\min(\lVert x \rVert, \lVert y \rVert) >1$，所以上式右边$\leq 2\lVert x-y \rVert$。代入后得到：
$$\lVert p(x) - p(y) \rVert \leq \lVert x-y \rVert + 2\lVert x-y \rVert = 3\lVert x-y \rVert$$
所以只要取$\delta = \frac{\varepsilon}{3}$，当$\lVert y-x \rVert < \delta$时，就有$\lVert p(y)-p(x) \rVert < \varepsilon$，满足$\varepsilon-\delta$的连续定义。

3. 闭单位球的边界点（$x \in \partial D$，即$\lVert x \rVert =1$） #

这是最关键的衔接部分，此时$p(x)=0$，我们需要验证：对任意$\varepsilon >0$，存在$\delta >0$，当$\lVert y -x \rVert < \delta$时，$\lVert p(y) - p(x) \rVert = \lVert p(y) \rVert < \varepsilon$。

分两种情况看$y$：

• 如果$y \in D$，那么$p(y)=0$，自然$\lVert p(y) \rVert =0 < \varepsilon$；
• 如果$y \notin D$，即$\lVert y \rVert >1$，此时$\lVert p(y) \rVert = \left\lVert \frac{\lVert y \rVert -1}{\lVert y \rVert}y \right\rVert = \lVert y \rVert -1$。根据三角不等式，$\lVert y \rVert \leq \lVert y -x \rVert + \lVert x \rVert < \delta +1$，所以只要取$\delta = \varepsilon$，就有$\lVert y \rVert < 1+\varepsilon$，即$\lVert p(y) \rVert = \lVert y \rVert -1 < \varepsilon$，满足要求。

另外单独验证原点$0$的连续性：对任意$\varepsilon>0$，取$\delta=1$，当$\lVert y-0 \rVert < \delta$时，$y \in D$，$p(y)=0$，显然$\lVert p(y)-0 \rVert < \varepsilon$，连续成立。

综上，$p$在$\mathbb R^2$的所有点处都连续。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RatherAmusing