局部等距曲面判定：参数化曲面S与螺旋面T是否局部等距的推理正确性验证

你的推理完全正确！这是一个利用高斯曲率的等距不变性判断曲面局部等距关系的经典且严谨的思路，我来帮你再梳理下核心逻辑：

问题背景 #

首先明确两个曲面的参数化定义：

曲面$S$的参数化方程为：
\begin{align*}\mathbf{x}:\mathbb{R}\times \left]-\pi,\pi\right[&\longrightarrow S\
(u,v)&\longmapsto ((2+\sin u)\cos v,(2+\sin u)\sin v,u),\end{align*}

螺旋面$T$的参数化方程为：
\begin{align*}
\mathbf{y}:\mathbb{R}^2&\longrightarrow T\
(s,t)&\longmapsto (s\cos t,s\sin t,t).
\end{align*}

关键计算与推理 #

你已经准确计算出两个曲面的高斯曲率：

• 曲面$S$的高斯曲率：
  $$K_S(u)=\frac{\sin u}{(1+\cos^2u)2(2+\sin u)}$$
  这个曲率的符号会随$\sin u$的正负变化：当$u\in(2k\pi,(2k+1)\pi)$时，$K_S(u)>0$；当$u\in((2k+1)\pi,(2k+2)\pi)$时，$K_S(u)<0$（$k\in\mathbb{Z}$），存在正负两种取值区域。
• 螺旋面$T$的高斯曲率：
  $$K_T(s)=-\frac{1}{(1+s²⁾2}$$
  无论$s$取任何实数值，$K_T(s)$始终为负，不存在正值区域。

根据微分几何的核心结论：高斯曲率是曲面的局部等距不变量——若两个曲面局部等距，那么它们在所有对应点处的高斯曲率必须完全一致（包括符号和具体数值）。

你的推理精准命中了这一关键点：$K_S$存在正值区域，而$K_T$恒为负，两者不可能在对应点保持曲率一致，因此曲面$S$和$T$不可能局部等距。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者moqui