正定矩阵相关技术问询：探究A正定前提下使$x^ op B^ op ACx>0$恒成立的B、C约束条件

嘿，这个问题挺有意思的，我来帮你理一理~

首先先澄清一个容易混淆的点：不管矩阵A是否对称，$x^\top A x$的值只和A的对称部分有关——因为反对称矩阵的二次型恒为0，所以$x^\top A x = x^\top \frac{A+A^\top}{2} x$。所以你说的“$x^\top A x>0$对所有非零x成立”，本质上等价于A的对称部分$S_A=\frac{A+A^\top}{2}$是正定对称矩阵，这点很关键。

先回答你的核心疑问：条件(2)不是充分条件 #

我可以给你构造一个明确的反例：

• 取$A = \begin{pmatrix}1&2\-2&1\end{pmatrix}$，它的对称部分是单位矩阵（正定），所以满足$x^\top A x = x_1^2 + x_2^2 > 0$对所有非零x；
• 取$B=I$（单位矩阵），$C = \begin{pmatrix}1&1\-1&1\end{pmatrix}$，此时$B^\top C = C$，它的二次型$x^\top Cx = x_1^2 + x_2^2 >0$，完全满足条件(2)；
• 但计算$AC = \begin{pmatrix}1&2\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&3\-3&-1\end{pmatrix}$，取$x=(1,0)$，则$x^\top ACx = -1 <0$，直接违反了条件(1)。

这就说明即使条件(2)成立，也不能保证条件(1)一定成立。

那什么条件能保证条件(1)成立？ #

首先给你一个等价条件：
因为$x^\top B^\top ACx$是实数，所以它等于自身的转置，即：
$$x^\top B^\top ACx = \frac{1}{2}x^\top \left(B^\top AC + C^\top A^\top B\right)x$$
所以条件(1)等价于：对称矩阵$M = B^\top AC + C^\top A^\top B$是正定矩阵。这个条件比$B=C$弱，当$B=C$时，$M=2B^\top AB$，而$B^\top AB$的对称部分是$B^\top S_A B$（$S_A$正定），只要B可逆，这个矩阵就正定，所以$M$自然正定，符合你已知的充分性。

如果你想要和B、C“相似性”相关的弱条件，可以参考下面两种思路：

• 思路1：基于可逆性的转化
  如果C可逆，令$D = C^{{-1}B$（可以理解为B相对于C的“缩放/变换”矩阵），那么条件(1)等价于：对所有非零y，$y}\top D^\top (C^\top A C) y >0$。而$C^\top A C$的对称部分是$C^\top S_A C$（正定），所以只要$D^\top (C^\top A C)$的对称部分正定，就能满足要求。比如当D是单位矩阵的小扰动（即B和C足够接近），这个条件很容易满足。
• 思路2：基于范数的扰动条件
  假设C可逆，且$B = C + E$，其中E是范数足够小的矩阵。此时$B^\top AC = (C+E)^\top AC = C^\top AC + E^\top AC$，它的对称部分是$C^\top S_A C + \frac{E^\top AC + C^\top A^\top E}{2}$。因为$C^\top S_A C$是正定的，当E的范数足够小时，扰动项不会破坏正定性，因此条件(1)成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Onno Eberhard