带半成功限制的三数对目标结果概率计算咨询

首先我得先明确下你定义的成功规则，避免理解偏差：只有当某个(A目标,B目标)数对出现时，它前面的所有数对都没有出现过目标A，才算成功。如果前面已经出现过目标A（不管对应的B是不是目标，也就是你说的“半成功”），那后面哪怕出现(A目标,B目标)也不算成功。对吧？

那接下来我们就可以拆解这个问题，不用纠结二项分布的修正了，直接从有效成功的场景入手更清晰：

先明确已知概率 #

你给出的参数：

• 目标A的出现概率：P_A = 5% = 0.05
• 非目标A的出现概率：P_notA = 1 - 0.05 = 0.95
• 当A是目标时，目标B的出现概率：P_B|A = 1% = 0.01
• 单次成功（即单个(A目标,B目标)）的概率：P_success_single = P_A * P_B|A = 0.05 * 0.01 = 0.0005（也就是0.05%）

枚举所有有效成功场景 #

我们的成功只会发生在三种情况下，把它们的概率加起来就是总成功概率：

1. 第一次就成功：第一个数对就是(A目标,B目标)，后面两个数对不管是什么都不影响成功。概率为：
   P_success_single = 0.0005
2. 第一次非目标A，第二次成功：第一个数对不是目标A，第二个数对是(A目标,B目标)，第三个数对不管是什么都不影响。概率为：
   P_notA * P_success_single = 0.95 * 0.0005 = 0.000475
3. 前两次都是非目标A，第三次成功：前两个数对都不是目标A，第三个数对是(A目标,B目标)。概率为：
   P_notA^2 * P_success_single = 0.95^2 * 0.0005 = 0.9025 * 0.0005 = 0.00045125

总成功概率计算 #

把三个场景的概率相加：
0.0005 + 0.000475 + 0.00045125 = 0.00142625
也就是0.142625%，大概千分之1.43的概率。

为什么不能直接用二项分布？ #

你一开始想到二项分布是很自然的，但二项分布会把“前面出现过半成功，后面出现(A目标,B目标)”的情况也算作成功，而根据你的规则，这些情况是无效的。比如二项分布会把(5,4);(2,3);(5,10)这种情况算成一次成功，但实际上这是失败的。所以直接用二项分布会高估成功概率，必须排除这些无效场景——而我们刚才的枚举法，本质上就是只计算了“第一次出现目标A时就成功”的有效情况，自动排除了那些被半成功废掉的后续成功。

如果你想推广到n次尝试的情况，公式也很简单：
总成功概率 = P_success_single * sum_{k=0到n-1} P_notA^k
这是一个等比数列求和，结果可以简化为：
总成功概率 = P_success_single * (1 - P_notA^n) / (1 - P_notA)
代入n=3的话，就是0.0005 * (1 - 0.95^3)/(1 - 0.95) = 0.0005 * (1 - 0.857375)/0.05 = 0.0005 * 2.8525 = 0.00142625，和我们之前枚举的结果一致，验证了正确性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kizaru