关于可分解为低维解乘积的抛物型偏微分方程解的存在性问询

首先，我们来拆解你的问题：你有一个类似$\Bbb R^n$上热方程的线性抛物型PDE，想知道是否存在能分解为n个一维解乘积形式的解。我会一步步代入假设的分解形式，看看是否能满足方程。

代入分解形式到方程中 #

假设解具有形式 $\Phi(u,s_1,...,s_n) = \prod_{j=1}^n \Phi_j(u,s_j)$，我们先计算方程两边的关键项：

1. 拉普拉斯算子作用结果：由于$\Phi$是各一维解的乘积，拉普拉斯算子展开后为：
   $$\Delta \Phi = \sum_{j=1}^n \left( \prod_{k \neq j} \Phi_k \right) \frac{\partial^2 \Phi_j}{\partial s_j^2}$$
2. 关于u的偏导结果：乘积的u导数展开为：
   $$\Phi_u = \sum_{j=1}^n \left( \prod_{k \neq j} \Phi_k \right) \frac{\partial \Phi_j}{\partial u}$$

将这两个结果代入原方程，两边同时除以$\prod_{j=1}^n \Phi_j$（假设解非零），得到简化后的等式：
$$\left( \sum_{i=1}^n s_i \right) \sum_{j=1}^n \frac{\Phi_j''}{\Phi_j} = nu \sum_{j=1}^n \frac{\Phi_{j,u}}{\Phi_j}$$
这里$\Phi_j''$是$\Phi_j$关于$s_j$的二阶导数，$\Phi_{j,u}$是关于u的一阶导数。

分析等式的可行性 #

现在看这个简化后的等式：左边是$\sum s_i$（所有$s$变量的和）与一个仅依赖各$(u,s_j)$的项的乘积，右边是$nu$与另一个仅依赖各$(u,s_j)$的项的乘积。要让这个等式对所有$u,s_1,...,s_n$成立，需要满足以下两种情况：

情况1：平凡稳态解（不依赖u）

如果$\Phi$不依赖于u，那么$\Phi_{j,u}=0$，右边整体为0。此时原方程简化为：
$$\left( \sum_{i=1}^n s_i \right) \Delta \Phi = 0$$
由于$\sum s_i$不恒为0，因此必须$\Delta \Phi=0$。结合分解形式，即每个$\Phi_j$满足$\Phi_j''=0$（或各$\frac{\Phi_j''}{\Phi_j}$的和为0），对应的解是各个$\Phi_j$为$s_j$的线性函数（或满足二阶导数项抵消的组合），比如$\Phi = C \prod_{j=1}^n (a_j s_j + b_j)$，其中$C,a_j,b_j$为常数。这是合法解，但属于不随u变化的平凡稳态解。

情况2：非平凡依赖u的解

如果$\Phi$依赖于u，那么右边的$\sum \frac{\Phi_{j,u}}{\Phi_j}$不恒为0。此时左边的$\sum s_i$与$\sum \frac{\Phi_j''}{\Phi_j}$的乘积必须等于右边仅含u的项，但左边包含所有$s$变量的和，而右边没有$s$变量——这意味着$\sum \frac{\Phi_j''}{\Phi_j}$必须能消去$\sum s_i$，但每个$\frac{\Phi_j''}{\Phi_j}$仅依赖$u$和$s_j$，无法构造出$\frac{1}{\sum s_i}$的形式来抵消左边的$\sum s_i$，因此不存在这样的非平凡依赖u的分解解。

特殊情况：n=1

当n=1时，方程退化为一维形式：$s_1 \Phi_{s_1 s_1} = u \Phi_u$，此时分解形式就是解本身，存在非平凡解，比如$\Phi(u,s_1) = u^{m(m-1)} s_1^m$（其中m为常数，满足欧拉方程的解），或者其他形式的分离变量解。

结论 #

• 当n=1时，存在非平凡的可分解为一维解（即自身）的解；
• 当n>1时，仅存在不依赖于u的平凡稳态分解解，不存在随u变化的非平凡分解解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J. Zimmerman