高效计算克罗内克乘积组合矩阵逆矩阵的方法问询及特定场景求解求助

各位大佬好，我最近碰到一个矩阵计算的难题，想请教下有没有高效的解法：

已知矩阵 $Z \in \Bbb R^{n \times p}$（其中 $n > p$），$X := Z_{-ij} \in \Bbb R^{n \times (p-2)}$ 是去掉 $Z$ 中第 $i$、$j$ 列后的子矩阵。现在已经有了 $ZZ^T$ 的特征分解结果：$ZZ^T = UDU^T$，我想避免重新计算 $X^TX$ 或 $XX^T$ 的特征分解，直接复用这个已知的特征分解来高效计算 $E^{-1}$（假设 $E$ 可逆，且 $B, C \in \Bbb R^{2\times2}$），其中 $E$ 的定义如下：

$$
E= C \otimes X^T X + B \otimes I_{p-2} = \begin{bmatrix} c_{11} X^T X + b_{11} I_{p-2} & c_{12} X^T X + b_{12} I_{p-2} \ c_{21} X^T X + b_{21} I_{p-2} & c_{22} X^T X + b_{22} I_{p-2} \end{bmatrix}
$$

我之前尝试过用块矩阵求逆的公式，想通过低秩扰动的思路来处理，但没找到可行的方向。有没有大佬能给点提示或者思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cris