关于ℚ与ℤ²的关系及基于ℤ²构建ℚ的简洁表达式的技术问询

嘿，我一直在琢磨一个问题：有没有办法用一个简洁的表达式，把有理数集$\mathbb{Q}$用整数集的笛卡尔积$\mathbb{Z}^2$表示出来？

我自己的思路是把$\mathbb{Q}$构造为$\mathbb{Z}^2$的一个商集。具体来说，首先我们可以从$\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\backslash{0})$入手——这其实是$\mathbb{Z}^2$里剔除掉所有第二个分量为0的有序对，每个$(p, q)$这样的有序对都对应一个分数$p/q$。

不过这里有个明显的问题：这个集合里存在冗余，同一个有理数可以有多种表示方式，比如$1/2$和$2/4$对应的有序对$(1,2)$和$(2,4)$其实是同一个数。所以要得到恰好对应$\mathbb{Q}$的集合，我们需要给这些有序对定义一个等价关系：当且仅当$pq' = p'q$时，$(p, q)$和$(p', q')$是等价的，记为$(p, q) \text{~} (p', q')$。

这样一来，这个等价关系下的商集$(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\backslash{0}))/\text{~}$就和$\mathbb{Q}$同构了。

不过我有点拿不准：这是不是最简洁的方式？毕竟我没有直接用$\mathbb{Z}^{2$来写，而是先做了剔除操作，有没有更直接的表达式能把$\mathbb{Q}$和$\mathbb{Z}}2$关联起来？另外，比如直接写$\mathbb{Q} \cong \mathbb{Z^2}$显然是有歧义的，因为没考虑等价关系和分母不能为0的限制。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sam wolfe