n色n×n×n立方体的面着色构造问题咨询

我在Paul Zeitz的The Art and Craft of Problem Solving（第三版第56页的问题2.4.16）里遇到了如下问题：

能否给27个完全相同的1×1×1小立方体的面使用红、白、蓝三种颜色着色，使得这些小立方体可以被排列成一个3×3×3的大立方体，且所有外表面均为红色；之后重新排列它们，又能拼成一个外表面全为蓝色的3×3×3大立方体；最后还能再次重新排列，拼成外表面全为白色的3×3×3大立方体？那一般情况（n种颜色和n×n×n的大立方体）又是否可行呢？

我通过逻辑试错的方法，找到了n=3时可行的着色方案，所以我认为这个问题的答案是“可以”——而且我也验证过这个结论，站内也有其他帖子讨论过n=3的情况。

不过我现在在把这个结论推广到n色n×n×n的一般情况时完全陷入了困境，有没有大佬能给我一些提示或者建议？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者vietajumping