经济学概率论框架下建筑报价搜索策略价值计算结果与文献不符的技术求助

各位经济学/概率论领域的大佬们，求助！我最近在复现Morgan and Manning (1983) 论文里的一个关于建筑报价搜索策略的价值计算案例，论文说用普通计算器就能算，但我只有第一种情况的结果和文献对上了，另外两种怎么算都对不上，反复检查了好几遍还是找不到问题，想请大家帮忙看看我哪里错了！

问题背景 #

建筑公司实行价格歧视，有两种报价方案：

• 50,000英镑，概率为0.2
• 60,000英镑，概率为0.8

其他关键参数：

• 完工建筑项目的现值：80,000英镑
• 折现因子：每期1.01
• 获取每份报价的成本：1,000英镑

消费者有三种可选的报价搜索策略，论文给出了每种策略的价值计算公式和结果，但我只有第一种策略的计算结果和文献一致，另外两种均存在偏差。

案例1：同时向4家公司询价（结果与文献一致） #

文献给出的价值计算公式：
$$V = -4,000 + \frac{1}{1.01}\mathbb{E}\left(\frac{1}{1.01}80,000 - p_4^{min}\right)$$
文献公布的结果：$V = 20,863.29$

我的计算过程：

1. 计算4家公司都不提供50,000英镑报价的概率：$0.8^4 = 0.4096$
2. 至少有1家公司提供50,000英镑报价的概率：$1 - 0.4096 = 0.5904$
3. 计算4份报价中最低报价的期望值：
   $$p_4^{min} = 60,000 \times 0.4096 + 50,000 \times 0.5904 = 54,096$$
4. 代入公式计算最终价值：
   $$V = -4,000 + \frac{1}{1.01}\left(\frac{80,000}{1.01} - 54,096\right)$$
   $$V = -4,000 + \frac{1}{1.01} \times 25,111.9208$$
   $$V = -4,000 + 24,863.2879 = 20,863.2879$$
   这个结果和文献几乎完全一致，说明这个思路是对的，但另外两个案例就出问题了。

案例2：序贯搜索（结果与文献不符） #

文献设定的策略：第一期先花费1,000英镑获取1份报价，若收到50,000英镑的报价则直接接受；若收到60,000英镑的报价，则再花费1,000英镑获取下一份报价。

文献给出的价值计算公式：
$$V = -1,000 + \frac{1}{1.01}\mathbb{E}\left(max\left{\frac{1}{1.01}80,000 - p_1^{min},-1,000+\mathbb{E}\left(\frac{1}{1.01}80,000 - p_2^{min}|p_1{min}\right)\right}\right)$$
文献公布的结果：$V = 20,623.70$

我的计算过程：

1. 第一期单个报价的期望值：
   $$p_1^{min} = 60,000 \times 0.8 + 50,000 \times 0.2 = 58,000$$
2. 连续2期都未收到50,000英镑报价的概率：$0.8 \times 0.8 = 0.64$，因此第二期（两次搜索后）最低报价的期望值：
   $$p_2^{min} = 60,000 \times 0.64 + 50,000 \times 0.36 = 56,400$$
3. 计算公式中max函数的两个选项：
   • 接受第一期报价的收益：$\frac{80,000}{1.01} - 58,000 = 21,207.9208$
   • 继续搜索的预期收益：$-1,000 + \frac{1}{1.01}\left(\frac{80,000}{1.01} - 56,400\right) = 21,582.0998$
4. 代入公式计算最终价值：
   $$V = -1,000 + \frac{1}{1.01} \times max(21,207.9208, 21,582.0998)$$
   $$V = -1,000 + \frac{21,582.0998}{1.01} = -1,000 + 21,368.4156 = 20,368.4156$$
   这个结果和文献的20,623.70有明显差距，我反复检查了概率计算和公式代入，还是没发现问题。

案例3：混合搜索（先搜3家，未找到低价则再搜4家）（结果与文献不符） #

文献设定的策略：第一期花费3,000英镑获取3份报价，若3份报价中都没有50,000英镑的低价，则再花费4,000英镑获取另外4份报价。

文献给出的价值计算公式：
$$V = -3,000 + \frac{1}{1.01}\mathbb{E}\left(max\left{\frac{1}{1.01}80,000 - p_3^{min},-4,000+\frac{1}{1.01}\mathbb{E}\left(\frac{1}{1.01}80,000 - p_7^{min}|p_3{min}\right)\right}\right)$$
文献公布的结果：$V = 21,688.58$

我的计算过程：

1. 3家公司都不提供50,000英镑报价的概率：$0.8^3 = 0.512$，因此3份报价中最低报价的期望值：
   $$p_3^{min} = 60,000 \times 0.512 + 50,000 \times 0.488 = 55,120$$
2. 总共7家公司都不提供50,000英镑报价的概率：$0.8^7 = 0.2097$，因此7份报价中最低报价的期望值：
   $$p_7^{min} = 60,000 \times 0.2097 + 50,000 \times 0.7903 = 52,097$$
3. 计算公式中max函数的两个选项：
   • 接受3份报价中最低值的收益：$\frac{80,000}{1.01} - 55,120 = 24,087.9208$
   • 继续搜索4家的预期收益：$-4,000 + \frac{1}{1.01}\left(\frac{80,000}{1.01} - 52,097\right) = 22,842.4958$
4. 代入公式计算最终价值：
   $$V = -3,000 + \frac{1}{1.01} \times max(24,087.9208, 22,842.4958)$$
   $$V = -3,000 + \frac{24,087.9208}{1.01} = -3,000 + 23,849.4265 = 20,849.4265$$
   这个结果和文献的21,688.58差距非常大，我完全搞不懂哪里出错了，希望能得到大家的指点！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Coronarias Redig