关于Non-straight lines of symmetry及反射相关问题的技术咨询

这是个特别有意思的问题——它刚好触及了我们日常说的“对称”与“反射”的定义边界，我来一步步拆解给你捋清楚：

先明确传统几何里的核心规则 #

在标准平面欧几里得几何中，我们常说的对称轴默认对应保距反射变换：每个点到对称轴的垂直距离相等，点与反射点的连线被对称轴垂直平分，同时整个变换会严格保持所有点之间的距离不变。

这种情况下，非直线的曲线不可能成为传统意义上的对称轴——因为曲线的切线方向是不断变化的，无法满足“所有点的反射连线都被垂直平分”的保距要求。比如你提到的圆，如果硬套直线反射的逻辑去“反射”过一条红色曲线，根本找不到全局统一的规则让每个点都对应合理的反射点，更别说让反射后的图形和原图形重合了。

放宽定义后的广义“对称”可能性 #

但如果我们跳出“保距”这个限制，重新定义基于曲线的“反射”规则，那就存在类似“非直线对称轴”的概念了。举两个常见的例子：

• 反演变换：比如以某个圆为“基准曲线”，定义每个点P的反射点P'满足：P、P'在同一条过圆心的直线上，且两者到圆心的距离乘积等于圆半径的平方。这时候一些特殊图形（比如另一个圆）经过反演后还是圆，我们可以说这个圆关于反演圆有“反演对称”，但这和传统的镜像对称完全不是一回事。
• 曲线垂直平分线式反射：如果定义反射为“点P的反射点P'满足曲线C是线段PP'的垂直平分线”（即PP'的中点在C上，且PP'垂直于C在该点的切线），这种变换下原图形会被扭曲变形。比如你说的圆，经过抛物线的这种“反射”后，会变成类似椭圆的二次曲线，不再是原来的圆。

回到你的核心疑问总结 #

所以结论可以分成两部分：

• 传统的、保距的镜像对称中，不存在非直线的对称轴；
• 广义上，只要重新定义变换规则，非直线曲线可以作为某种“对称基准线”，但对应的“反射”会改变图形的形状和大小，和我们日常理解的镜像反射完全不同。

你提到的“反射后的圆和自身重叠”的情况，只有当这个圆刚好是某种广义变换的“不动集合”时才会发生（比如圆关于自身的反演变换），但这已经不是我们通常说的“对称反射”范畴了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1148590