关于全纯映射分歧点为闭子集的论证细节问询

Hi 你好呀，

我留意到你在参考相关论证时，对「全纯映射的分歧点是X的闭子集」这一步的逻辑存在困惑，我来给你拆解下关键细节：

首先先明确分歧点的核心定义：对于全纯映射 f: X → Y（这里默认X、Y是复流形），点 p ∈ X 是分歧点，当且仅当 f 在 p 处的微分 dfₚ 不满足满秩条件。

为什么分歧点集是闭集？核心依托的是全纯函数的零点集必为闭集这个基础性质，具体推导逻辑可以拆成这几步：

• 取X上任意一个局部坐标邻域 U，我们可以把 f 在 U 上表示为一组全纯函数 (f₁, f₂, ..., fₙ)（假设Y是n维复流形）。
• dfₚ 不满秩，等价于这组全纯函数的所有n阶雅可比行列式在 p 点的取值全为0。
• 每个n阶雅可比行列式都是 U 上的全纯函数，它们的零点集在 U 内是闭集。
• 从全局视角看，X上的非分歧点集是「所有局部邻域内雅可比行列式不全为0的点」的集合——这类点构成开集（因为全纯函数的非零点集是开集，局部非分歧点总能找到一个小邻域让雅可比行列式保持非零）。
• 既然非分歧点集是开集，那么它的补集——分歧点集自然就是闭集了。

另外还有个辅助理解的角度：全纯映射的「秩等于最大值的点集」是开集，那么秩小于最大值的点集（也就是分歧点集）就是闭集，这和上面的推导是完全一致的。

如果还有哪一步逻辑没捋顺，随时可以再探讨哦~

备注：内容来源于Stack Exchange，提问作者Florian Manzini