关于利用多二项式定理推导三项式$(a+b+c)^n$展开式的问询

我之前在查阅二项式定理相关内容时，看到了维基百科里的多二项式定理部分：

当处理二维以上的情况时，通常会用到二项式展开式的乘积。根据二项式定理，有：
$$(x_1+y_1)^{{n_1}\cdots(x_d+y_d)}{n_d}=\sum_{k_1=0}^{{n_1}\cdots\sum_{k_d=0}}{n_d}\binom{n_1}{k_1}x_1^{k_1}y_1{n_1-k_1}\cdots\binom{n_d}{k_d}x_d^{k_d}y_d{n_d-k_d}$$

现在我想把$(a+b+c)^n$用这个定理的思路展开，自己试着推导了一下，得到的结果是：
$$\sum_{r=0}^n\sum_{s=0}r\dfrac{n!a^{n-r}b{r-s}c^s}{s!(n-r)!(r-s)!}$$

具体推导步骤是这样的：
$$(a+b+c)^n$$
$$=(a+d)^n,\ d=b+c$$
$$=\sum_{r=0}^n\binom nra^{n-r}dr$$
$$=\sum_{r=0}^n\binom nra^{n-r}(b+c)r$$
$$=\sum_{r=0}^n\binom nra^{{n-r}\sum_{s=0}}r\binom rsb^{r-s}cs$$
$$=\sum_{r=0}^n\sum_{s=0}r\dfrac{n!a^{n-r}b{r-s}c^s}{s!(n-r)!(r-s)!}$$

想请教各位，这样的推导是正确的吗？或者说，三项式展开式应该怎么用多二项式定理来规范书写呢？

另外需要说明的是，这个问题和我之前提出的问题并不相同——之前的问题核心是关于正n边形对角线的2m次幂之和与n的关系猜想，这点我也在那个问题的某条回答的评论里明确提到过。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CrSb0001