C*代数中的酉元与中心元

嘿，这个问题挺有意思的，咱们先直接给结论：这个说法不一定成立，得看具体的$C^*$-代数结构。下面我给你拆解清楚：

首先回忆一下核心定义：

• 酉元：在含单位元的$C^{*$-代数$A$中，元素$u$满足$u}u = uu^ = 1$（$1$是$A$的单位元），它的谱完全落在复平面的单位圆上；
• 中心元：元素$u$和$A$中所有元素交换，即对任意$a \in A$，$ua=au$，所有中心元构成$A$的中心$Z(A)$，这是$A$的一个交换$C^*$-子代数。

反例：交换$C^*$-代数的情况 #

最直接的反例就是交换$C^*$-代数C(X)，其中$X$是包含至少两个点的紧豪斯多夫空间（比如$X={0,1}$，或者$X=[0,1]$）：

• 拿$X={0,1}$来说，C(X)和$\mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$同构，里面的元素$(1, -1)$就是一个酉元：它的伴随（共轭）就是$(1,-1)$，且$(1,-1)(1,-1)=(1 \times 1, (-1) \times (-1))=(1,1)$，正好是代数的单位元；
• 同时，因为整个代数是交换的，这个元素自然是中心元；
• 但它显然不是单位元的标量倍数——单位元的标量倍数是$(\lambda, \lambda)$形式的元素，而$(1,-1)$根本没法写成这种样子。

再比如$X=[0,1]$，定义连续函数$f(x)=e^{2\pi i x}$，这是C([0,1])里的酉元（每个点的函数值模都是1，共轭函数就是它的逆），也是中心元（因为整个代数交换），但它不是常函数，所以也不是单位元的标量倍数。

什么时候结论成立？ #

那什么时候这个说法是对的呢？当$C^{*$-代数$A$是**不可约**的时候。不可约$C}*$-代数指的是它在希尔伯特空间上的非平凡表示都是不可约的，此时$A$的中心$Z(A)$只能是$\mathbb{C} \cdot 1$（单位元的标量倍数构成的集合）。这时候，任何中心元都必须是单位元的标量倍数，酉元自然也不例外。

总结一下：在一般的含单位元$C^{*$-代数中，中心酉元不一定是单位元的标量倍数；但如果是不可约$C}*$-代数，这个结论就成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex