关于正实平面上P、Q点迭代游戏的终止性分析与验证的技术问询

我最近碰到了一个让我有点头疼的迭代问题，用常规的数学方法入手感觉难度很大（我本身数学功底不算强），不过意外发现它和物理模型有很强的关联，能帮我得到一个部分解。先把问题完整描述一下：

问题定义 #

在正实数平面上有两个点P和Q，坐标分别为(Px, Py)和(Qx, Qy)。我们定义一次「步骤」的规则如下：

• 对P点操作：把P中较大的坐标值减去较小的那个（举个例子，如果Px > Py，那么Px会更新为Px - Py）；同时把较小的那个坐标值翻倍（接上面的例子，Py会变成2*Py）
• 对Q点操作：找到P中较小的坐标对应的坐标轴，将Q在该轴上的坐标更新为(Qx + Qy)/2（还是上面的例子，因为Py < Px，所以Qy会被更新为(Qx+Qy)/2）

整个游戏由一系列这样的步骤组成，当Qx = Qy时游戏终止，问题要求我们求出终止时这个相等的值。

我的测试尝试 #

为了更好地理解这个问题，我写了一段Python脚本用来随机测试初始坐标：

import random
import time

while True:
    result = []
    Px, Py = random.choice(range(1, 1001)), random.choice(range(1, 1001))
    Qx, Qy = random.choice(range(1, 1001)), random.choice(range(1, 1001))
    result.append([Px, Py, Qx, Qy])
    while Qx != Qy:
        if Px > Py:
            Px -= Py
            Py += Py
            Qy = (Qx+Qy)/2
        else:
            Py -= Px
            Px += Px
            Qx = (Qx+Qy)/2
        result.append([Px, Py, Qx, Qy])
    print(result)
    time.sleep(5)

这段脚本每5秒输出一次测试结果（避免输出太快刷屏）。不过我有个顾虑：有些初始坐标可能会让游戏无限循环下去，但因为Python的浮点数精度限制，脚本会误以为Qx和Qy相等从而终止程序。不过我通过物理模型找到了一个闭合公式，能直接得到正确的最终值：

物理模型带来的闭合解 #

我把Px和Py看成两个相同材质物体的质量，Qx和Qy看成它们各自的温度。这样一来，每一步操作就对应了热传递和质量转移：温度低的物体“接收”和自身相等的质量（温度高的物体失去对应质量），然后两者接触达到热平衡，新的温度就是原来两个温度的算术平均。

不管游戏的步骤是有限还是无限，最终的平衡温度就相当于把所有质量混合后的最终温度，这是个很经典的物理模型，对应的公式就是：

(Px*Qx + Py*Qy) / (Px + Py)

说白了就是以质量为权重的加权平均温度。不过我还是有个疑问：有没有初始值会让游戏真的无限进行下去？

编辑1 #

在讨论中，CyclotomicField指出如果初始时Px和Py相等，游戏会进入明显的无限循环。假设规则保持和之前的情况一致，这种对称场景确实会让游戏无限持续下去。现在我想知道：有没有非平凡的无限循环情况？

编辑2 #

我后来才反应过来一个关键问题：之前那个边缘情况的无限循环原因，其实适用于所有游戏——因为把其中一个值更新为两者的均值时，这个均值不可能等于另一个值（除非初始就相等），而且Q的坐标更新和P的状态无关，也就是说，只要初始Qx≠Qy，游戏就永远不会终止？

现在我也开始试着从数学角度更清晰地理解Q的坐标更新模式，想搞清楚它的变化规律到底是怎样的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathathon