Python计算定积分结果差异：两种有限差分法孰优及差异原因

实现的两种Python函数 #

function1（基础左矩形法） #

def function1(f, dx, a, b):
    g=0
    while a<b:
        g=g + dx*f(a)
        a=a + dx
    return g

function2（带提前终止阈值的左矩形法） #

def function2(f, dx, a, b):
    g=0
    while a<b-dx*0.1:
        g=g + dx*f(a)
        a=a + dx
    return g

测试结果 #

• 计算f(x)=x²，参数dx=0.001, a=0, b=11时，结果分别为443.727和443.606（省略部分小数）；
• 计算f(x)=x²，参数dx=0.001, a=0, b=12时，结果分别为576.072和575.928（省略部分小数）；
• 计算f(x)=x²，参数dx=0.001, a=0, b=1时，两者结果相同，为0.333328（省略部分小数）；
• 计算f(x)=x^x，参数dx=0.001, a=0, b=1时，两者结果相同，为0.3328375（省略部分小数）。

问题解答 #

1. 哪种方法更优？ #

function1的实现更合理、更优。原因如下：

• 它严格贴合左矩形法的定义，遍历从a到b的所有区间，不会遗漏本该计算的面积；
• function2引入的b - dx*0.1终止阈值是人为的模糊限制，当b-a不是dx整数倍时，会直接丢弃靠近b的部分区间，反而降低计算精度；
• 两者结果一致的情况仅当b-a恰好是dx整数倍时出现，属于特例，不具备普遍性。

2. 为何两者计算结果会存在差异？ #

差异的核心是循环终止条件不同：

• function1的a < b条件，会让程序计算所有左端点a未到达b的区间，哪怕最后一个区间的长度小于dx，也会用dx*f(a)近似该部分面积；
• function2的a < b - dx*0.1条件，相当于提前终止循环，直接放弃了b - dx*0.1到b之间的所有区间面积，导致最终结果偏小；
• 当b-a是dx整数倍时（比如b-a=1，dx=0.001），a最终会刚好到达b，此时b - dx*0.1的值略小于b，程序能完整计算所有区间，所以结果和function1一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Takahiro Matsuda