任意维度一般位置椭球边界均匀随机点生成：标准椭球与一般椭球的旋转关系咨询

嗨，我来帮你梳理清楚这个问题～

你已经找到了@elhuhdron提出的轴对齐椭球均匀采样方法，而且能轻松推广到任意维度，但现在卡在了一般位置椭球（由$x'Ax = r^2$定义）的采样上——你知道可以先在对应轴对齐椭球上采样，再通过变换得到目标椭球上的点，但不清楚这个变换关系到底怎么推导，对吧？

其实核心就是对定义椭球的矩阵$A$做特征值分解：
因为椭球对应的矩阵$A$一定是正定对称矩阵（这是椭球的定义要求），所以它可以分解为：
A = QΛQᵀ
其中：

• $\Lambda$是对角矩阵，对角线上的元素是$A$的正特征值$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$
• $Q$是正交矩阵，每一列都是对应特征值的单位特征向量

这个正交矩阵$Q$就是你要找的“旋转/正交变换”——它能把轴对齐的标准椭球映射到一般位置的目标椭球上。

具体来说：

1. 标准轴对齐椭球对应的二次型是$y^T\Lambda y = r^2$，展开后就是$\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + ... + \lambda_n y_n^2 = r^2$，对应每个坐标轴方向的半径是$r/\sqrt{\lambda_i}$
2. 如果你在这个轴对齐椭球上生成了均匀随机点$y$，只需要做变换$x = Qy$，就能得到一般位置椭球$x'Ax = r^2$上的点。代入验证一下：
   $x'Ax = (Qy)^T A (Qy) = y^T Q^T A Q y = y^T \Lambda y = r^2$，完全符合目标椭球的方程。

另外要注意的是，正交变换是保测度的，也就是说它不会改变点的分布均匀性——轴对齐椭球上的均匀采样点，经过$Q$变换后，在一般位置椭球上依然是均匀分布的，这刚好满足你的需求。

最后给你整理下完整的采样步骤：

• 对矩阵$A$做特征值分解，得到正交矩阵$Q$和对角矩阵$\Lambda$
• 计算标准椭球的各轴半径$r_i = r/\sqrt{\lambda_i}$
• 用@elhuhdron的方法在轴对齐椭球上生成均匀随机点$y$
• 执行变换$x = Qy$，得到一般位置椭球上的均匀随机点

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Stéphane Laurent