关于基数为无限基数κ的非同构树的数量的技术问询

嗨，你的问题提得非常到位——这确实是集合论与树论交叉领域里一个基础但值得深入探讨的问题。让我来梳理相关的结论和细节：

首先，你推导的上界是完全正确的：对于基数为$\kappa$的树$\langle T,<_T\rangle$，偏序关系$<_T$是$T\times T$的子集，而无限基数满足$|\kappa\times\kappa|=\kappa$，因此$|\mathcal{P}(T\times T)|=2^{\kappa$，这意味着非同构树的数量绝不会超过$2}\kappa$。

接下来是你最关心的问题：这个上界是不是最优的？能不能达到$2^\kappa$个互不同构的树？

分情况的结论 #

• 可数基数$\omega$：在ZFC中可以明确证明，存在$2^\omega$个互不同构的可数树。经典的构造方式是给每个自然数子集$S\subseteq\omega$对应一个独特的树结构——比如让树的第$n$层仅当$n\in S$时出现分支扩展，且分支的形态设计得足够独特，确保不同子集对应的树无法同构。
• **后继基数$\kappa^{+$**：对于任意无限基数$\kappa$的后继$\kappa}+$，ZFC中也能证明$2^{\kappa+}$这个上界是可达的。我们可以构造带有“独特标记层”的树，比如给$\kappa^+$的每个子集对应一个树，其中特定层的节点结构完全由该子集决定，从而保证任意两个不同子集对应的树不存在同构映射。
• 极限基数（如弱不可达基数）：这类情况的答案就独立于ZFC了。比如在广义连续统假设（GCH）成立时，$2^{\kappa=\kappa}+$，我们可以构造出$\kappa^{+$个互不同构的树；但如果GCH不成立，$2}\kappa>\kappa^{+$，此时是否能达到$2}\kappa$的上界，可能需要额外的集合论假设，甚至存在ZFC模型使得非同构树的数量严格小于$2^\kappa$。

另外要注意：你提到“能不能给$\mathcal{P}(T\times T)$的每个元素定义一个树”——其实不需要这么强的对应，因为$\mathcal{P}(T\times T)$里大部分子集并不满足树的偏序公理（比如不传递、不是良序前驱集等）。我们只需要构造出$2^\kappa$个符合树定义且互不同构的结构，就能说明上界是紧的。

总的来说，这个问题的答案和$\kappa$的基数类型、所采用的集合论公理密切相关，但对于大多数常见的无限基数，ZFC本身就能证明$2^\kappa$是可达的最优上界，而部分极限基数的情况则具有独立性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yester