关于陶哲轩著作中三只蚱蜢直线跳跃回归初始位置问题的证明求助

各位好，我碰到了陶哲轩《Solving Mathematical Problems: a personal perspective》一书第86页上的一个数学问题，想向大家请教思路：

三只蚱蜢在一条直线上，每一秒钟有且仅有一只蚱蜢跳过另一只蚱蜢。证明：1985秒后，蚱蜢们不可能回到初始位置。

我猜这个问题应该和奇偶性以及不变量有关，但一直没找到合适的不变量。如果是限制蚱蜢只能跳过相邻同伴的情况，我们能轻松证明奇数次移动后不可能回到初始排列（只考虑蚱蜢的相对位置就行）。不过这个问题里蚱蜢可以一次跳过两只同伴，比如我试出了这样的循环：ABC -> ACB -> BAC -> ABC，只需要3步就回到原位了。

另外，我完全不知道该怎么处理它们在直线上的实际位置（不是相对位置）。我试过假设它们一开始站在-1、0、1这三个点上，但还是卡壳了。

有没有大佬能给点提示或者思路呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者vietajumping