关于交替符号类范德蒙德卷积量$A_{n,m}$非负性的证明咨询

我现在想要证明如下定义的数$A_{n,m}$是非负的：

$$A_{n,m}:= \sum_{n_1=0}^{2n-1} \sum_{m_1=0}^{2m-1} (-1)^{m_1+n_1} \binom{2n-1-n_1}{2m-1-m_1} \binom{n_1}{m_1}$$

其中$m,n$是满足$1\leq m \leq n$的整数。

我已经计算了前几项，看起来确实是非负的。我也能写出$A_{n,n}$和$A_{n,1}$的闭合公式，但不确定怎么处理一般情况。

有没有人能给我一些思路？

谢谢！

补充说明：我的问题核心是，是否对于所有满足$1\leq m \leq n$的整数，都有$A_{n,m} \geq 0$？

（目前我只能证明当$m=1$和$m=n$时这个结论成立）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1183018