关于双根多项式在区间(a,b)内是否存在Q(c)>P(c)的问题问询

我在解决另一个问题的时候突然冒出了这么个疑问：

假设两个实系数多项式$P(x)$和$Q(x)$都以$a,b$为根，不妨设$a < b$。存在$\delta_1, \delta_2 > 0$，使得对于所有$x \in (a- \delta_1,a) \cup (b,b+ \delta_2)$，都满足$P(x) > Q(x)$。

那是否一定存在某个$c \in (a,b)$，使得$Q(c) > P(c)$呢？

我不确定这个结论是否成立，但原本是想试着证明它是对的。我用了反证法的思路，假设在$(a,b)$区间内$P(x) \geq Q(x)$恒成立，但一直没能推出矛盾来，想问问大家的看法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者A_sequence