关于集合论证明中是否需明确标注所用逻辑定律的技术问询

首先先看你给出的集合等式证明示例：

Theorem: $B\cup \left(\cap F\right)=\cap _{A\in F}\left(B\cup A\right)$

Proof.

Suppose $a\in B\cup \left(\cap F\right)$.

Then, $a\in B\cup \left(\cap F\right)$
iff $a\in B\vee a\in \cap F$
iff $a\in B\vee \forall A\in F\left(a\in A\right)$
iff $\forall A\in F\left(a\in B\vee a\in A\right)$
iff $\forall A\in F\left(a\in B\cup A\right)$
iff $a\in \cap _{A\in F}\left(B\cup A\right)$

Since $a$ was arbitrary, $B\cup \left(\cap F\right)=\cap _{A\in F}\left(B\cup A\right)$

要不要明确标注每一步所用的逻辑定律？ #

这个没有绝对的标准答案，核心取决于你的受众和使用场景：

• 如果是课程作业、学术投稿这类需要严格严谨性的场景：建议标注关键步骤的依据。尤其是像你提到的量词变换这类非入门级的逻辑操作，标注能让审阅者快速确认你确实理解了每一步的逻辑基础，而不是凭直觉跳过。
• 如果是个人笔记、和同水平伙伴讨论：完全可以省略基础步骤的标注——毕竟对于熟悉集合论和谓词逻辑的人来说，这类等价变换属于“常识”范畴，没必要每次都写出来。

关于你疑惑的那个量词变换定律 #

你提到的这个等价变换：
$a\in B\vee \forall A\in F\left(a\in A\right) \leftrightarrow \forall A\in F\left(a\in B\vee a\in A\right)$
它属于量词移位律（Quantifier Shift Rule）的一种，更具体地说，是全称量词对析取的分配律。不过要注意它的适用前提：析取项$a\in B$不能包含被量化的变量$A$（也就是$B$和集合族$F$中的元素无关），如果$B$依赖于$A$，这个等价关系就不成立了。

哪怕你记不住这个定律的正式名称，也可以用通俗的语言说明依据，比如写“由于$B$与集合族$F$中的任意集合$A$无关，我们可以将全称量词移到析取符号的外侧”，这样既保证了严谨性，又不会因为记不住名称而卡壳。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者enoopreuse22