求解一阶线性微分方程$y’-rac{2x-1}{x^2}y=1$遇到困难，请求协助

云上老周

2026-4-22

求解一阶线性微分方程$y’-\frac{2x-1}{x^2}y=1$遇到困难，请求协助

Hey Natalia，别着急，我来帮你一步步拆解这个一阶线性微分方程～

首先咱们先对齐一下一阶线性微分方程的标准形式：$y' + P(x)y = Q(x)$，对应你的方程来看，$P(x) = \frac{1-2x}{x^2}$，$Q(x)=1$。这类方程的解法核心是找积分因子，具体步骤如下：

计算积分因子$\mu(x)$：
积分因子的公式是$\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$，先算里面的积分项：
$$\int \frac{1-2x}{x^2}dx = \int \left( \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \right)dx = -\frac{1}{x} - 2\ln|x| + C$$
忽略常数项后取指数，得到：
$$\mu(x) = e^{-\frac{1}{x} - 2\ln|x|} = \frac{1}{x^2}e{-\frac{1}{x}}$$
给原方程两边同时乘以积分因子：
这一步的作用是让方程左边变成某个乘积的导数形式，整理后得到：
$$\frac{d}{dx}\left( \frac{e^{-1/x}}{x2} y \right) = \frac{e^{-1/x}}{x2}$$
两边同时积分：
右边的积分可以用换元法简化，令$u = -\frac{1}{x}$，则$du = \frac{1}{x^2}dx$，代入后右边积分就变成$\int e^u du = e^u + C = e^{-1/x} + C$，因此：
$$\frac{e^{-1/x}}{x2} y = e^{-1/x} + C$$
整理得到通解：
两边同时乘以$x^2 e^{1/x}$，就能解出$y$的表达式：
$$y = x^2 + C x^2 e^{1/x}$$