关于二元可测函数与其单变量递减重排之和的等可测性问题

先跟大家梳理一下背景定义：

• 对于单变量可测函数 $p(\cdot) :[0;1] \to [1;\infty)$，我们定义 $p^{}(x)$ 是它的递减重排。因为 $p(\cdot)$ 是正值函数，所以 $p(\cdot)$ 和它的递减重排 $p^{}(x)$ 是等可测的。
• 再拓展到二元情况：设 $p(\cdot\cdot) : [0;1]^2 \to [1; \infty)$ 是一个二元可测函数，同样定义 $p^{}(x,y)$ 为这个二元函数的递减重排。同理，由于它是正值函数，$p(\cdot\cdot)$ 和 $p^{}(x,y)$ 也是等可测的。

现在我构造了一个新的二元函数：
$$\bar p(x,y) = p^{}(x) + p^{}(y)$$

这里的核心疑问是：$\bar p(x,y)$ 是否与原二元函数 $p(\cdot\cdot)$ 等可测？

为了避免大家误解，我先明确一下用到的关键定义：

1. 等可测性的定义：非负函数 $f$ 和 $g$ 被称为等可测的，当且仅当它们的分布函数完全一致，也就是对任意实数 $y$，都满足
   $$m{f > y } = m{g > y }$$
   这里的 $m$ 在单变量场景下是Lebesgue测度，二元场景下是乘积Lebesgue测度。
2. 递减重排的基本性质：任意非负函数（或者函数的绝对值）和它的递减重排是等可测的。

希望各位能给我一些思路或者解答，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JohnNash