仅用AM-GM不等式证明正实数相关代数不等式的求助

嘿，我来帮你搞定这个仅用AM-GM的不等式证明问题！

首先先明确要解决的问题：

证明：$$ \frac {a+b+c}{3} \cdot \frac{a^2+b2+c^2}{3} \ge \frac{a^2b + b^2c + c^2a}{3} $$
其中 (a, b, c) 是正实数，且仅能使用AM-GM不等式。

你提到已经展开左边并化简得到了：
$$a^3+b3+c^3+ab2+bc^2+ca2 \ge 2(a^2b + b^2c + c^2a)$$

其实你已经走到关键步骤啦！接下来只需要对循环的每组项分别应用AM-GM不等式就可以完成证明：

我们知道，对于任意正实数 (x, y)，AM-GM不等式告诉我们：
$$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}$$

现在针对每组循环项应用这个不等式：

• 取 (x = a^3)，(y = ab^2)，代入AM-GM可得：
  $$\frac{a^3 + ab^2}{2} \ge \sqrt{a^3 \cdot ab^2} = a^2b$$
  两边乘2后得到：(a^3 + ab^2 \ge 2a^2b)
• 同理，取 (x = b^3)，(y = bc^2)，可得：
  $$b^3 + bc^2 \ge 2b^2c$$
• 再取 (x = c^3)，(y = ca^2)，可得：
  $$c^3 + ca^2 \ge 2c^2a$$

现在把这三个不等式左右两边分别相加：
$$(a^3 + ab^2) + (b^3 + bc^2) + (c^3 + ca^2) \ge 2a^2b + 2b^2c + 2c^2a$$

整理后就是你化简得到的式子：
$$a^3+b3+c^3+ab2+bc^2+ca2 \ge 2(a^2b + b^2c + c^2a)$$

接下来我们把这个式子反向推导回原不等式：

• 先在不等式两边同时加上 (a^2b + b^2c + c^2a + a^2c + b^2a + c^2b)（其实就是把展开左边时的所有交叉项补回来），得到：
  $$a^3 + b^3 + c^3 + a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 \ge 3(a^2b + b^2c + c^2a)$$
• 左边正好是 ((a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2)) 的展开式，两边同时除以9：
  $$\frac{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2)}{9} \ge \frac{a^2b + b^2c + c^2a}{3}$$
• 也就是原不等式的形式：
  $$\frac{a+b+c}{3} \cdot \frac{a^2+b2+c^2}{3} \ge \frac{a^2b + b^2c + c^2a}{3}$$

这样就完成了仅用AM-GM不等式的证明啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ninga Nijx