关于可生成优美旋律的简单数学方程的技术问询

我之前见过一些能生成绝美复杂图形的简单方程，就在琢磨——音乐领域有没有类似的东西？比如有没有一个简单的方程$A(t)$，把它转换成声音后就能生成一段旋律？如果这种时域的方程不存在，那傅里叶域里有没有用简单公式就能生成惊艳复杂旋律的方法？

我正在给自己写的一款开源小工具找一个漂亮的默认音效，这个工具的功能就是把方程转换成音频播放。

函数如何被解读为音乐 #

音乐可以被建模成一个关于时间的振幅函数，更常见的是立体声形式——也就是左右耳各对应一个函数。这些函数和其他数学函数一样可以被绘制出来：

要说明的是，实际音频是离散采样的（采样率约48000Hz），但我们可以用连续函数来近似它，所以能对它做各种操作，比如用FFT来近似傅里叶变换。但麻烦的是，这种由数百万数据点组成的离散函数没法被简洁地表达出来——就像网页顶部那张绝美图形，如果用像素数据表示会无比臃肿，但用生成它的数学函数就异常简洁。

我做的原型验证 #

我已经完成了一个概念验证：用相当简单的方程确实能生成旋律：
$$
\begin{align*}
&\sin(440 \cdot 2 \pi t) \exp(-(t-1.1)^2 e^{(t-1.1)2}) \

• &\sin(554.365 \cdot 2 \pi t) \exp(-(t-3.0)^2 e^{(t-3.0)2}) \
• &\sin(659.225 \cdot 2 \pi t) \exp(-(t-4.9)^2 e^{(t-4.9)2})
  \end{align*}
  $$
  这个方程其实有点生硬，它只是把“凸包函数”和正弦波结合起来，生成了A大调的琶音：A、C♯、E。核心思路就是让函数的频率和振幅随时间变化，当频率落到悦耳的数值时，振幅达到峰值。

但我想要更自然的版本，就像网页顶部那种用简单方程生成绝美复杂图形的效果一样。这个原型生成的旋律是可以播放出来的。

自己动手尝试的方法 #

你可以自己动手调整参数玩：把凸包函数和你想要的周期函数相乘就行。想要调整每个音符的延迟，只需要把方程里的延迟值（比如我用的2.9）改成你想要的数值。每个凸包函数大概持续2秒，你也可以调整凸包函数的参数来改变它的宽度和形状。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zaz