基于中心极限定理的加权均值性质及均值估计器W的适用性问询

假设我们有一组N个独立随机变量：
$$X_1 = {x_{11}, x_{12}, \dots, x_{1n_1}}$$
$$X_2 = {x_{21}, x_{22}, \dots, x_{2n_2}}$$
$$\vdots$$
$$X_N = {x_{N1}, x_{N2}, \dots, x_{Nn_N}}$$

每个随机变量具备以下特点：

• 各自拥有$n_i$个独立观测值（例如$X_1$有$n_1$个实现值，$X_2$有$n_2$个，以此类推）
• 潜在的概率分布未知

根据中心极限定理，无论这些变量的底层分布是什么，我们可以得到以下结论：

• 样本均值的期望等于对应总体的均值：
  $$E(\bar{X}i) = \sum{k=1}^{n_i} \frac{x_{ik}}{n_i} = \mu_i$$
• 样本二阶中心矩对应总体方差：
  $$E(X_i^2) - E(X_i)^2 = \sum_{k=1}^{n_i} \frac{(x_{ik} - \mu_i)^2}{n_i} = \sigma_i^2$$
• 样本均值近似服从正态分布：
  $$\bar{X}_i \sim N\left(\mu_i, \frac{\sigma_i^2}{n_i}\right)$$

基于上述结论，我定义了一个新的随机变量$W$——它是所有样本均值的算术平均：
$$W = \frac{\bar{X}_1 + \bar{X}_2 + \dots + \bar{X}_N}{N}$$

接下来我推导了$W$的期望和方差：

• 期望：
  $$E(W) = \frac{1}{N} \left( E(\bar{X}_1) + E(\bar{X}2) + \dots + E(\bar{X}N) \right) = \frac{1}{N} \sum{i=1}^{N} \mu_i$$
  这说明$W$是目标总体均值$\frac{1}{N}\sum{i=1}^{N}\mu_i$的无偏估计量。
• 方差：
  $$Var(W) = \frac{1}{N^2} \left( Var(\bar{X}_1) + Var(\bar{X}_2) + \dots + Var(\bar{X}N) \right) = \frac{1}{N^2} \sum{i=1}^{N} \frac{\sigma_i^2}{n_i}$$

再次利用中心极限定理，可以得出$W$近似服从正态分布：
$$W \sim N\left( \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\mu_i, \frac{1}{N^2}\sum_{i=1}{N}\frac{\sigma_i^2}{n_i} \right)$$

现在我有个核心疑问想请教大家：如果每个$X_i$的样本量$n_i$都足够大（满足中心极限定理的应用前提），那么这个$W$能不能作为目标总体均值的**“合适”估计量**？这里的“合适”指的是具备无偏性、一致性、最小方差、成为优势估计量、可容许性这些优良统计性质——对比那些常见的加权均值估计量（比如按样本量$n_i$加权、按方差$\sigma_i^2$加权的均值），$W$是否有足够的竞争力？

谢谢各位的解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stats_noob