关于序列$u_n = 5 - \frac{8}{5}n$收敛性的证明正确性验证及其他证明方法咨询

嗨，你的证明完全正确！而且思路相当巧妙，本质上确实是从柯西序列的核心性质出发——毕竟收敛序列必然是柯西序列，而你通过构造出序列中两个项的距离始终大于固定值，直接证明它不可能满足柯西序列的要求，自然也就不收敛了。

具体来说，你的推导逻辑非常严谨：先假设序列收敛到某个实数$l$，取$\epsilon=1$，再通过计算得到$|u_{n+2}-u_n|=\frac{16}{5}$，接着用三角不等式的反向形式$|a+b|\geq||a|-|b||$，推导出$|u_{n+2}-l|>\frac{11}{5}>1$，这直接和收敛定义中“当$n$足够大时，所有项都落在$l$的$\epsilon$邻域内”的要求矛盾，整个过程没有漏洞。

下面给你补充几种不同思路的证明方法：

• 利用收敛序列的有界性：收敛序列一定是有界的，但咱们这个序列$u_n=5-\frac{8}{5}n$，当$n$趋向于无穷大时，$u_n$会无限趋向于负无穷——随便给定一个很小的负数$M$，只要取$n>\frac{5(5-M)}{8}$，就能让$u_n<M$，说明序列是无界的，因此不可能收敛。

• 直接从极限定义推导矛盾：假设$\lim_{n\to\infty}u_n=l$，那么对任意$\epsilon>0$，存在$N\in\mathbb{N}$，当$n>N$时$|u_n-l|<\epsilon$。但计算相邻项的距离：$|u_{n+1}-u_n|=\left|(5-\frac{8}{5}(n+1))-(5-\frac{8}{5}n)\right|=\frac{8}{5}$。根据三角不等式，$|u_{n+1}-u_n|\leq|u_{n+1}-l|+|u_n-l|<\epsilon+\epsilon=2\epsilon$。如果取$\epsilon=\frac{3}{5}$，就会得到$\frac{8}{5}<\frac{6}{5}$，这显然是矛盾的，所以序列不可能收敛。

• 利用子序列的收敛性：收敛序列的所有子序列都必须收敛到同一个极限，但咱们的序列中，任意子序列$u_{n_k}=5-\frac{8}{5}n_k$，当$n_k\to\infty$时，$u_{n_k}$都会趋向于负无穷，不存在有限的极限；或者换个角度，不管取什么子序列，都没有有限的公共极限，因此原序列必然不收敛。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者G2MWF