测度论中0·∞=∞·0=0约定的合理性及普适性问询

最近我在读Sheldon Axler的《Measure, Integration & Real Analysis》，书中采用了一个约定：$0\cdot\infty$ 和 $\infty\cdot 0$ 都被解释为0。我一直在思考这个约定为什么是合理的，于是试着找了它的实际应用场景，还真找到了一处——就在特征函数积分的证明里。

先把相关的定义和命题列出来，方便大家理解：

Definition 3.1 $\mathcal{S}$-partition #

假设$\mathcal{S}$是集合$X$上的$\sigma$-代数。$X$的一个$\mathcal{S}$-划分是$\mathcal{S}$中有限个互不相交的集合$A_1,\dots,A_m$，满足$A_1\cup\dots\cup A_m=X$。

Definition 3.2 下勒贝格和 #

假设$(X,\mathcal{S},\mu)$是测度空间，$f:X\to [0,\infty]$是$\mathcal{S}$-可测函数，$P$是$X$的一个$\mathcal{S}$-划分$A_1,\dots,A_m$。下勒贝格和$\mathcal{L}(f,P)$定义为：
$$\mathcal{L}(f,P)=\sum_{j=1}^m \mu(A_j)\inf_{A_j} f.$$

Definition 3.3 非负函数的积分 #

假设$(X,\mathcal{S},\mu)$是测度空间，$f:X\to [0,\infty]$是$\mathcal{S}$-可测函数。$f$关于$\mu$的积分记为$\int f d\mu$，定义为：
$$\int f d\mu=\sup{\mathcal{L}(f,P):P\text{ 是 }X\text{ 的 }\mathcal{S}\text{-划分}}.$$

Proposition 3.4 特征函数的积分 #

假设$(X,\mathcal{S},\mu)$是测度空间，$E\in\mathcal{S}$。则：
$$\int\chi_E d\mu=\mu(E).$$

证明

取$X$的$\mathcal{S}$-划分$P$为$E$和它的补集$X\setminus E$，显然$\mathcal{L}(\chi_E,P)=\mu(E)$。展开计算的话：
$$\mathcal{L}(\chi_E,P)=\mu(E)\inf_{E} \chi_E + \mu(X\setminus E)\inf_{X\setminus E} \chi_E=\mu(E)+\mu(X\setminus E)\cdot 0.$$
如果$\mu(X\setminus E)$是有限实数，那$\mu(X\setminus E)\cdot 0=0$很自然；而根据我们的约定，就算$\mu(X\setminus E)=\infty$，$\mu(X\setminus E)\cdot 0$依然等于0，这就让这个证明在测度有限和无限的情况下都成立，看起来这个约定在这里确实很有用。

但我现在有两个疑问：

• 这个约定是不是总是合理的？有没有场景下这个约定会带来问题？
• 除了这个积分证明的场景，还有哪些原因让这个约定成为测度论里的标准选择？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tchappy ha