求解使距杆50英尺处地面获得最大照明的光源最优高度问题

嘿，我看你在这个照明最大化的问题上卡壳了，咱们先来揪出推导里的小问题——你把入射角的正弦值搞反啦！这就是为啥求导后找不到极值的原因，咱们重新一步步来理清楚：

首先明确变量和题目条件：

• 设杆的高度为( h )（单位：英尺），这是我们要求的最优值
• 地面目标点距离杆底50英尺，光源到该点的直线距离( d = \sqrt{h^2 + 50^2} )
• 题目说明：照度( C )与距离平方成反比，与入射角的正弦成正比，比例常数为( k )，所以初始表达式是对的：
  $$C = \frac{k \cdot \sin(\alpha)}{d^2}$$

这里的关键错误是( \sin(\alpha) )的取值：题目里的入射角( \alpha )指的是光线与地面的夹角（而非与竖直法线的夹角），在杆、地面距离、光线构成的直角三角形里，( \sin(\alpha) = \frac{h}{d} )（对边是杆高( h )，斜边是光线距离( d )），而不是( \frac{50}{d} )。

接下来把( \sin(\alpha) )和( d )的表达式代入照度公式，得到关于( h )的函数：
$$C(h) = \frac{k \cdot \frac{h}{d}}{d^2} = \frac{k h}{d^3} = \frac{k h}{(h^2 + 50²⁾{3/2}}$$

现在我们对( h )求导（因为我们要优化的是杆高( h )，不是距离( d )），用商的导数法则计算( C'(h) )：
$$C'(h) = \frac{k(2500 - 2h^2)}{(h2 + 2500)^{5/2}}$$

找临界点时，令( C'(h)=0 )：
因为( k \neq 0 )，分母始终为正，所以只需分子为0：
$$2500 - 2h^2 = 0$$
解得( h^2 = 1250 )，即( h = 25\sqrt{2} \approx 35.36 )英尺（高度取正值）。

最后验证这是最大值：

• 当( h < 25\sqrt{2} )时，( C'(h) > 0 )，照度随杆高增加而递增；
• 当( h > 25\sqrt{2} )时，( C'(h) < 0 )，照度随杆高增加而递减。

所以当杆高为( 25\sqrt{2} )英尺时，距杆50英尺处的地面照明达到最大值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AlbertB