关于证明g(t)与g''(t)平行时△OAB面积不随t变化的问题求助

你好呀！看起来你已经把基础的表达式都梳理清楚了，其实再往前推两步就能搞定啦，我来给你捋一捋关键思路：

我们的核心目标是证明△OAB的面积不随t变化，换句话说，就是要证明面积对t的导数等于0。已知面积的表达式是：
$$S_{OAB}=\frac{1}{2}\left|\textbf{g}(t)\times \textbf{g}'(t)\right|$$

为了避开绝对值求导的麻烦，我们可以先对$\left|\textbf{g}(t)\times \textbf{g}'(t)\right|^2$求导，具体步骤如下：

• 首先，根据向量运算的求导法则，叉乘的导数满足：
  $$\frac{d}{dt}\left(\textbf{g} \times \textbf{g}'\right) = \textbf{g}' \times \textbf{g}' + \textbf{g} \times \textbf{g}''$$
  而$\textbf{g}' \times \textbf{g}'$是向量叉乘自身，结果必然是零向量，所以这个导数可以简化为：
  $$\frac{d}{dt}\left(\textbf{g} \times \textbf{g}'\right) = \textbf{g} \times \textbf{g}''$$
• 接下来，计算$\left|\textbf{g} \times \textbf{g}'\right|^2$的导数，它等于$(\textbf{g} \times \textbf{g}') \cdot (\textbf{g} \times \textbf{g}')$的导数，根据乘积求导法则：
  $$\frac{d}{dt}\left[(\textbf{g} \times \textbf{g}') \cdot (\textbf{g} \times \textbf{g}')\right] = 2 \cdot \frac{d}{dt}(\textbf{g} \times \textbf{g}') \cdot (\textbf{g} \times \textbf{g}')$$
• 代入前面得到的叉乘导数，就变成：
  $$2 \cdot (\textbf{g} \times \textbf{g}'') \cdot (\textbf{g} \times \textbf{g}')$$
• 现在用到题目给的条件：$\textbf{g}(t)\parallel \textbf{g}''(t)$，这意味着存在某个标量函数$k(t)$，使得$\textbf{g}''(t) = k(t)\textbf{g}(t)$。把它代入上式的叉乘里：
  $$\textbf{g} \times \textbf{g}'' = \textbf{g} \times k(t)\textbf{g} = k(t)(\textbf{g} \times \textbf{g}) = \textbf{0}$$
  （向量叉乘自身的结果是零向量）
• 这样一来，$\left|\textbf{g} \times \textbf{g}'\right|^2$的导数就等于$2 \cdot \textbf{0} \cdot (\textbf{g} \times \textbf{g}') = 0$，说明$\left|\textbf{g} \times \textbf{g}'\right|$是一个不随t变化的常数，那面积$S_{OAB}$自然也不随t变化啦！

之前你计算的$(\textbf{g}(t)\cdot \textbf{g}'(t))'$其实也可以作为辅助验证，但核心还是围绕面积的导数为0这个方向来推导就对了～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kauselis3000