随机变量序列$X_n=\cos(n\Theta)$的四种收敛性判断及验证

嘿，我来帮你梳理下这个问题的四种收敛性判断，你的部分结论是对的，但关于依分布收敛的分析有误，咱们逐个拆解验证：

一、几乎必然收敛(a.s.)：不收敛 #

几乎必然收敛要求$\lim_{n\to\infty}X_n(\omega)=X(\omega)$对几乎所有$\omega$成立。但对于$\Theta(\omega)\in[0,2\pi]$，当$\Theta(\omega)$不是$\pi$的有理数倍时，$n\Theta(\omega)$模$2\pi$会稠密地分布在$[0,2\pi)$上（根据Weyl均匀分布定理），这意味着$\cos(n\Theta(\omega))$会在$[-1,1]$上不断振荡，不会趋近于某个固定值。只有当$\Theta(\omega)$是$\pi$的有理数倍时，$\cos(n\Theta(\omega))$才会是周期序列，但这类$\omega$的测度为0（因为$\Theta$是均匀分布），所以几乎必然不收敛。

二、均方收敛(m.s.)：不收敛 #

均方收敛要求$\lim_{n\to\infty}E[(X_n - X)^{2]=0$对某个随机变量$X$成立。首先计算$E[X_n]=\frac{1}{2\pi}\int_0}{2\pi}\cos(n\theta)d\theta=0$，如果均方收敛到$X$，则$E[X]=0$。再计算$E[X_n^{2]=\frac{1}{2\pi}\int_0}{2\pi}\cos^{2(n\theta)d\theta=\frac{1}{2}$，而如果均方收敛，应该有$\lim_{n\to\infty}E[X_n}2]=E[X^{2]$，但假设$X$存在，$E[X}2]=\frac{1}{2}$。再看$E[X_nX_m]=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(n\theta)\cos(m\theta)d\theta$，当$n\neq m$时这个积分是0，所以$\lim_{n,m\to\infty}E[(X_n-X_m)^2]=E[X_n2]+E[X_m^2]-2E[X_nX_m]=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-0=1\neq0$，不满足柯西准则，因此均方不收敛。另外，均方收敛蕴含依概率收敛，后面我们会看到依概率也不收敛，这也能侧面说明均方不收敛。

三、依概率收敛(p.)：不收敛 #

依概率收敛要求对任意$\epsilon>0$，$\lim_{n\to\infty}P(|X_n - X|>\epsilon)=0$。我们用反证法：假设存在$X$使得$X_n\xrightarrow{p}X$，那么对于任意$\epsilon>0$，当$n,m$足够大时，$P(|X_n - X_m|>\epsilon)\leq P(|X_n - X|>\epsilon/2)+P(|X_m - X|>\epsilon/2)\to0$。但我们计算$P(|X_n - X_{2n}|>\epsilon)$：令$Y=\cos(n\Theta)$，则$X_{2n}=\cos(2n\Theta)=2Y^2-1$，所以$|X_n - X_{2n}|=|Y - (2Y^2-1)|=|2Y2-Y-1|=|(2Y+1)(Y-1)|$。由于$Y$的分布密度是$f_Y(y)=\frac{1}{\pi\sqrt{1-y^2}}$（$y\in(-1,1)$），对于$\epsilon=0.5$，$P(|(2Y+1)(Y-1)|>0.5)$是一个固定的正数（显然不会趋近于0），这和依概率收敛的柯西性质矛盾，因此依概率不收敛。

四、依分布收敛(d.)：收敛，极限分布为$\cos\Theta$的分布 #

你的这里的分析错啦！$X_n=\cos(n\Theta)$的分布和$\cos(\Theta)$的分布完全相同：因为$\Theta\sim U[0,2\pi]$，$n\Theta$在$[0,2n\pi]$上均匀分布，而余弦函数的周期是$2\pi$，所以$\cos(n\Theta)$的取值分布和$\cos(\Theta)$完全一致——对于任意实数$x$，$P(X_n\leq x)=P(\cos(n\Theta)\leq x)=P(\cos(\Theta)\leq x)$，也就是$X_n$的分布函数序列是常数序列，自然依分布收敛到$\cos(\Theta)$的分布。这个极限分布的密度函数是$f(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}}$，$x\in(-1,1)$，分布函数为$F(x)=\frac{1}{\pi}\arccos(-x)$，$x\in[-1,1]$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathematicalPhysicist