求解积分∫(xe^x)/(x+1)²dx的方法咨询

嘿，我完全懂你这种提前预习Calc 2碰到瓶颈的感觉——刚学完分部积分，明明知道应该用相关方法，却摸不到切入点，太正常了！其实你之前做的u替换思路已经很接近了，咱们换个方式，直接用分部积分法就能解，完全贴合书里刚教的内容~

首先回忆分部积分的核心公式：∫u dv = uv - ∫v du，关键是选对要拆分的u和dv。针对这个积分，咱们可以这么选：

• 令 ( u = xe^x )，这部分求导后能出现和分母相关的项
• 令 ( dv = \frac{1}{(x+1)^2}dx )，这部分积分起来非常简单

接下来计算对应的du和v：

1. 对u求导：( du = (e^x + xe^x)dx = e^x(x+1)dx )（直接用乘积求导法则）
2. 对dv积分：( v = \int \frac{1}{(x+1)^2}dx = -\frac{1}{x+1} + C )（用简单的t替换就能算，设t=x+1，dt=dx，积分就是∫t^-2 dt = -t^-1 + C）

现在把这些代入分部积分公式：
[
\int \frac{xe^x}{(x+1)2}dx = uv - \int v du = -\frac{xe^x}{x+1} - \int \left(-\frac{1}{x+1}\right)e^x(x+1)dx
]

接下来化简右边的积分项：
负负得正，而且(x+1)直接约掉了，积分就变成了最简单的指数函数积分：
[
-\frac{xe^x}{x+1} + \int e^x dx
]

我们知道∫e^x dx = e^x + C，代入后再把两项通分合并：
[
-\frac{xe^x}{x+1} + e^x + C = \frac{-xe^x + e^x(x+1)}{x+1} + C = \frac{e^x}{x+1} + C
]

这样就得到了和书里一致的答案，全程只用了分部积分、基本求导和简单积分技巧，完全是书里刚覆盖的内容~

你之前发现的“这个积分是某个乘积的导数”其实就是分部积分的逆过程——分部积分本质上就是乘积求导法则的逆用，所以两种思路是相通的。一开始没想到分部积分的拆分方式很正常，这类题的小技巧就是优先让dv是容易积分的部分，而u选求导后能和后续项抵消的式子，多练几道类似的题就能找到感觉啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mia Bennett