有限符号有向图中初等零和路径集合的有限性求证及相关线索问询

大家好，我最近在研究一类特殊的符号有向图，遇到了一个关于初等零和路径集合有限性的问题，想和大家探讨，也希望能得到相关思路或者已有的研究线索：

问题背景与定义 #

先明确一下相关的核心概念：

• 设$G=(V,E,w)$是有限符号有向图，其中每个顶点$v\in V$的出度均为2，每条有向边$e\in E$的符号$w(e)\in{-1, +1}$。
• 图中的一条路径$z = (v_1, e_1, v_2, e_2, \ldots, v_{k-1}, e_{k-1}, v_k)$是顶点与有向边交替组成的序列，满足$e_i=(v_i, v_{i+1})$（$i=1, \ldots, k-1$）。
• 我们称路径$z$是初等路径，当且仅当同时满足以下两个条件：
  1. 路径中所有边的符号和为0：$\sum_{i=1}^{k-1} w(e_i)=0$；
  2. 路径的任意真前缀的符号和均不为0：即对所有$1 \leqslant k' < k-1$，有$\sum_{i=1}^{k'} w(e_i) \neq 0$。

设$W(G)$表示图$G$中所有初等路径的集合，我的核心问题是：

若$G$是有限图，那么$|W(G)|$是否一定有限？我需要证明这个结论，或者找到反例来否定它。

求助方向 #

如果大家对这类问题有直觉判断，或者见过相关的研究结果、类似的结论，麻烦给我一些思路或者提示，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bilal Khan