关于函数1/x^α在(0,∞)上的Lebesgue可积性证明问询（α>1）

嘿，我来帮你理清楚这个问题的关键点，首先得说个小误区：当α>1时，$\int_{(0,\infty)} \frac{1}{x^\alpha} d\mu(x)$其实是发散到+∞的，并不属于(0,∞)哦。不过我猜你可能是混淆了积分区间，或者想拆分区间来分析？我给你详细讲下这类问题的常用思路，你就能明白啦：

首先，DCT（控制收敛定理）确实在这里派不上用场，因为DCT主要是用来处理“函数序列的积分极限”，而我们现在是要直接计算一个无界函数在无穷区间上的Lebesgue积分，核心方法是拆分积分区间，把原区间拆成“无界函数的局部”和“无穷远的局部”，分别分析：

• 第一步：把$(0,\infty)$拆成$(0,1]$和$[1,\infty)$两个子区间，这样原积分就变成两个积分的和：
  $$I_\alpha = \int_{(0,1]} \frac{1}{x^\alpha} d\mu(x) + \int_{[1,\infty)} \frac{1}{x^\alpha} d\mu(x)$$
  对于非负可测函数来说，Lebesgue积分和反常Riemann积分的收敛性是等价的，所以我们可以用熟悉的反常Riemann积分来计算每一段。

• 第二步：分析$[1,\infty)$上的积分
  当α>1时，计算这段的积分：
  $$\int_{1}^{b} x^{-\alpha} dx = \frac{x^{{1-\alpha}}{1-\alpha}\bigg|_{1}}{b} = \frac{b^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha}$$
  因为α>1，所以1-α是负数，当$b\to\infty$时，$b^{1-\alpha} = \frac{1}{b^{\alpha-1}} \to 0$，所以这段积分的结果是$\frac{1}{\alpha-1}$，是一个有限的正数。

• 第三步：分析$(0,1]$上的积分
  同样计算这段的反常积分：
  $$\int_{\epsilon}^{1} x^{-\alpha} dx = \frac{x^{{1-\alpha}}{1-\alpha}\bigg|_{\epsilon}}{1} = \frac{1}{1-\alpha} - \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha}$$
  当α>1时，1-α<0，$\epsilon^{1-\alpha} = \frac{1}{\epsilon^{{\alpha-1}}$，当$\epsilon\to0}+$时，这个项会趋向+∞，所以这段积分的结果是+∞。

把两段加起来，整个$I_\alpha$就是+∞，并不在(0,∞)里。如果你的问题是想证明$\int_{[1,\infty)} \frac{1}{x^\alpha} d\mu(x) \in (0,\infty)$（α>1），那上面的第二步就已经完成了证明；如果是想找积分有限的情况，那只有当我们把区间限制在$(0,1]$且α<1，或者$[1,\infty)$且α>1时，积分才是有限的正数。

总结一下，这类问题的核心是拆分区间，把无界/无穷的部分分开处理，而不是用DCT，因为DCT的应用场景是函数序列的收敛，和这里的直接积分计算不匹配~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Linda