验证函数级数在x→0⁺时极限推导的正确性
嘿，咱们来仔细捋一捋你这个关于函数级数极限的推导是不是站得住脚哈。你想要证明的结论是：
$$\begin{align*} \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x\log x}\sum_{n=1}{\infty}\frac{|\sin(nx)|}{n2}=-1. \end{align*}$$
先看看你的推导步骤：
你把级数拆成了两部分：
$$\begin{align*} \sum_{n=1}{\infty}\frac{|\sin(nx)|}{n2} & =\sum_{n\leqslant y}\frac{|\sin(nx)|}{n2}+\sum_{n>y}\frac{|\sin(nx)|}{n2}\ & =(A)+(B) \end{align*}$$
其中选择了 $ y=\frac{1}{x\sqrt{\log x^{-1}}}$。
首先看n≤y的情况，你得出 $nx\leqslant \frac{1}{\sqrt{\log x^{-1}}}=o(1)$，这一步完全没问题——当x→0⁺时，$\log x^{-1}$趋向于无穷大，它的平方根也跟着趋向无穷，倒数就是高阶无穷小，nx自然是o(1)。
接下来分析(A)部分：你用了$|\sin(nx)| \sim nx$（因为nx→0时，正弦函数和自变量等价），所以(A)~$x\sum_{n\leqslant y}\frac{1}{n}$，这一步很合理，而且因为nx的上界是o(1)，这个等价关系在n≤y的范围内是一致成立的，不会影响求和后的等价性。然后$\sum_{n\leqslant y}\frac{1}{n} \sim \log y$，这是调和级数的经典渐近估计，没问题。再代入y的表达式：$\log y = \log\left(\frac{1}{x\sqrt{\log x^{-1}}}\right) = -\log x - \frac{1}{2}\log(\log x^{-1})$，后面那项$\frac{1}{2}\log(\log x^{-1})$和$-\log x$比起来是高阶无穷小，所以$\log y \sim -\log x$，进而(A)~$x(-\log x) = -x\log x$，这部分推导完全严谨。
然后是(B)部分：你用了$|\sin(nx)| \leqslant 1$，所以(B)≤$\sum_{n>y}\frac{1}{n2}$，这个放缩很自然。而$\sum_{n>y}\frac{1}{n2} \sim \frac{1}{y}$（这是p=2时p级数余项的渐近估计），代入y的表达式得到$\frac{1}{y}=x\sqrt{\log x^{-1}}$。对比(A)的量级$-x\log x$，$\frac{x\sqrt{\log x^{-1}}}{|x\log x|} = \frac{1}{\sqrt{\log x^{-1}}}$，当x→0⁺时这个比值趋向0，所以(B)=o(A)，这一步也没毛病。
最后把(A)+(B)除以$x\log x$，就得到$\frac{(A)+(B)}{x\log x} \sim \frac{-x\log x}{x\log x} + \frac{o(-x\log x)}{x\log x} = -1 + o(1)$，所以极限确实是-1。
整体来看，你的推导思路清晰，每一步的渐近估计和放缩都准确，结论是正确的～
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Paul
