负分数阶Sobolev空间中的弱等价方程相关技术问询

Sobolev 前置定义 #

设 $N\geqslant 2$，$\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 是连通、有界的开集，且其边界 $\partial \Omega$ 满足Lipschitz连续条件。

定义Sobolev–Slobodeckij空间（分数阶Sobolev空间） $H^{1/2}(\partial \Omega)$，其半范数为：
$$
|f|{H^{1/2}(\partial \Omega)}^2:= |f|^2_{L2(\partial \Omega)}+ \oint\limits{\partial \Omega}\oint\limits_{\partial \Omega} \dfrac{|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})|}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{N}}dS_{\mathbf{x}}dS_{\mathbf{y}}.
$$

$H^{-1/2}(\partial \Omega)$ 表示 $H^{1/2}(\partial \Omega)$ 的对偶空间，其对应的范数定义为：
$$
|g|{H^{-1/2}(\partial \Omega)}:= \sup\limits{v \in H^{1/2}(\partial \Omega)\setminus {0}}\dfrac{\left<g, v \right>{L^2(\partial \Omega)}}{|v|{H^{1/2}(\partial \Omega)}}
$$

补充说明：$\left<g, v \right>{L^2(\partial \Omega)}$ 的含义为：
$$
\left<g, v \right>{L^2(\partial \Omega)} := \oint\limits_{\partial \Omega} gv \ dS_{\mathbf{x}},
$$
其中 $g\in H^{-1/2}(\partial \Omega)$ 是作用在 $v\in H^{1/2}(\partial \Omega)$ 上的泛函。

弱方程表述 #

给定 $g \in H^{-1/2}(\partial \Omega)$，我希望理解满足以下方程的解 $u \in H^{1}(\Omega)$：
$$
\left< g, \phi \right>{H^{-1/2}(\partial \Omega)} = \left< Tu, \phi \right>{L^2(\partial \Omega)}, \quad \forall \phi \in H^{-1/2}(\partial \Omega),
$$
这里的 $T:H^1(\Omega)\rightarrow H^{1/2}(\partial \Omega)$ 是有界满射的迹算子。

问题与疑问 #

我想知道是否可以用 $g$ 显式地表示 $u$ 的迹。比如当我取 $\phi=g$ 时，可以推导得到：
$$
|g|^2_{H{-1/2}(\partial \Omega)}= \sup\limits_{|v|{H^{1/2}(\partial \Omega)}=1}\left<g, v \right>{L^2(\partial \Omega)}^2 = \left< Tu, g \right>_{L^2(\partial \Omega)}
$$

进而得到：
$$
\sup\limits_{|v|{H^{1/2}(\partial \Omega)}=1}\left<g, v\left<g, v \right>{L^2(\partial \Omega)}-Tu \right>_{L^2(\partial \Omega)}=0
$$

从某种意义上来说，$u$ 的迹可以看作是 $g$ 在 $H^{1/2}(\partial\Omega)$ 上的投影，但我不确定如何把这个结论推广到 $\phi\neq g$ 的情况。是不是需要对测试函数空间 $\phi$ 施加更严格的限制？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathematurgist