关于在非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=1时求P最小值的方法咨询

问题：设非负实数$a,b,c\ge 0$，满足$ab+bc+ca=1$，求$P$的最小值：
$$P=\frac{1}{\sqrt{2a+bc}}+\frac{1}{\sqrt{2b+ca}}+\frac{1}{\sqrt{2c+ab}}$$
问题来源未知。

我最近尝试解决这个问题，先从对$P$平方展开入手：
$$P^2=\frac{1}{2a+bc}+\frac{1}{2b+ca}+\frac{1}{2c+ab}+2\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{(2a+bc)(2b+ca)}}$$

目前我已经证明了两个相关不等式：

• 不等式(1)：$\frac{1}{2a+bc}+\frac{1}{2b+ca}+\frac{1}{2c+ab}\ge 2$
• 不等式(2)：$\frac{\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}}{\sqrt{(2a+bc)(2b+ca)(2c+ab)}}\ge \frac{1+2\sqrt{2}}{2}$

不等式(1)的完整证明 #

要证$\frac{1}{2a+bc}+\frac{1}{2b+ca}+\frac{1}{2c+ab}\ge 2$，等价于推导：
$$f(r)=2r^2+r(4p2-17p+14)+2(2-p)\le 0 \tag{*}$$
其中$f'(r)=4r+4p^2-17p+14$

分两种区间讨论：

• 当$\sqrt{3}\le p\le 2$时
  此时$r\le \dfrac{p}{9}$，可推导出$f'(r)< 4p^2-\dfrac{149}{9}p+14 =(p-2.95)(p-1.18)<0$，说明$f(r)$在该区间单调递减。
  结合Schur不等式$r\ge \dfrac{p(4-p^2)}{9}$，将其代入$f(r)$得：
  $$f(r)\le f\left(\frac{p(4-p^{2)}{9}\right)=2p}6-32p^5+137p4+18p^3-580p2+342p+324$$
  对右边多项式因式分解后：
  $$=(p-2)\left((p-2)(2p^4-28p3+17p^2+198p+144)+126\right)<0$$
  因此不等式(1)成立。

• 当$2\le p\le 4$时
  将(*)式改写为：
  $$ f(r)=-2r^2-r(4p2-17p+14)+2(p-2)\ge 0$$
  二阶导数$f''(r)=-4<0$，说明$f(r)$是凹函数，最小值出现在端点处，验证两个端点：

  • $f(0)=2(p-2)\ge 0$
  • $f\left(\frac{1}{3p}\right)=\frac{-2}{9p^2}-\frac{4p2-17p+14}{3p}+2(p-2)\ge \frac{11}{8}>0$
    因此不等式(1)在此区间也成立。

不等式(2)的证明瓶颈 #

我尝试对不等式(2)两边平方，转化为需要证明：
$$2(a+b+c)+1+2\sum_{cyc}\sqrt{(2a+bc)(2b+ca)}\ge \left(\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\right)^2(2a+bc)(2b+ca)(2c+ab) $$
但这个转化后的式子结构太复杂，我没能完成完整的证明过程。

其他思路尝试 #

我还想到了利用Holder不等式，能得到如下关系式：
$$P^{2.\sum_{cyc}(2a+bc)(mb+nc)}3\ge ((m+n)(a+b+c))^3$$

现在想请教大家：我当前的思路方向是否正确？如果我的证明过程中存在错误，麻烦指出问题所在；也希望能看到更多解决这个问题的思路，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tran Ngoc Khuong Trang