类悬链面形态在恒定压差下的存在性及曲率与r(z)的关系问询

嘿，这个问题问到点子上了——刚好戳中了曲面力学和微分几何的交叉地带，我来给你一步步梳理明白：

一、恒定压差下的类悬链面确实存在！ #

你说得没错，标准悬链面是零平均曲率曲面（极小曲面），对应拉普拉斯定律里的压差ΔP=0。但当ΔP≠0时，拉普拉斯定律要求曲面的平均曲率H必须是常数（因为ΔP ∝ H，比例系数和表面张力、曲面是否为双表面有关，比如肥皂膜是2γH，单表面是γH）。

而这类常数平均曲率（CMC）旋转曲面，其实有个专门的名字——德劳内（Delaunay）曲面，标准悬链面就是Delaunay曲面在H=0时的特例。当H≠0时，存在两端开口、形态和悬链面类似的旋转曲面，它们的母线曲线是“广义悬链线”，整体形态会根据压差方向略有变化：

• 如果内部压强大于外部（H>0），曲面会比标准悬链面更“鼓”一点；
• 如果外部压强大于内部（H<0），曲面会更“收窄”。

二、曲率与r(z)的定量关系推导 #

既然你关注的是旋转对称曲面（母线为r(z)，即z处的半径），我们可以直接从旋转曲面的平均曲率公式出发推导关系：

对于母线为r(z)的旋转曲面，平均曲率H的表达式为：

H = (r''(1 + r'^2) - r'^3) / (2r(1 + r'^2)^(3/2))

其中r'=dr/dz，r''=d²r/dz²。

因为我们要求H为常数（对应恒定压差），把H代入后整理，可以得到关于r(z)的微分方程：

r'' = (2H r (1 + r'^2)^(3/2) + r'^3) / (1 + r'^2)

为了简化求解，我们可以换用弧长参数s（母线的弧长），令θ为母线切线与z轴的夹角，此时dr/ds=cosθ，dz/ds=sinθ，代入后能得到更简洁的关系：

r = (1/(2H)) sinθ + C

这里C是积分常数，对应曲面的“缩放”或“偏移”。当C=0且取H→0的极限时，就回到了标准悬链面的方程。

如果我们想直接得到r(z)的显式关系，这个微分方程的解是椭圆函数形式，但你可以通过数值方法很容易地画出对应的r(z)曲线——它的形态和悬链线类似，但曲率分布更“均匀”，以维持恒定的平均曲率。

额外补充：为什么你会感到困惑？ #

其实核心是混淆了“极小曲面”和“常数平均曲率曲面”的概念：悬链面只是极小曲面（H=0）的典型例子，而常数平均曲率曲面是更广泛的一类，它们能在恒定压差下保持稳定形态，旋转对称的这类曲面刚好包含了和悬链面形态接近的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Remember