关于构造L²([0,1])中在所有p<2的Lᵖ([0,1])稠密但在L²([0,1])中不稠密的子空间的疑问

先梳理下我目前的推导思路和遇到的问题：

为了简化表述，我用$L^p$代替$L^p([0,1])$。已知当$p<q$时，范数满足$\lVert\cdot\rVert_p\le\lVert\cdot\rVert_q$，因此有$L^q\subseteq L^{p$；由此可以推出，对所有$p<2$，$L}2\subseteq L^p$。

接下来我取一个非零元素$g\in L^2$，定义子空间：
$$S={f\in L^2: \langle g,f\rangle_{L^2}=0}$$
显然$S$的正交补$S^{\perp=\text{Span}(g)\ne{0}$，所以$S$在$L}2$中肯定不是稠密的。现在我想搞清楚一个问题：当$p<2$时，$S$在$L^p$中是否稠密？

针对$p<2$的情况，我用泛函分析里的稠密性判别思路：$S$在$L^{p$中稠密，当且仅当所有在$S$上恒为0的$L}p$线性泛函都是零泛函。我们知道$L^{p$的对偶空间是$L}q$，其中$p,q$是共轭指数（即$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$）；因为$p<2$，所以对应的$q>2$。

假设$h\in L^q$，并且对所有$f\in S$都满足$\int hf\ dm=0$。现在如果$\int gh\ dm=0$（也就是$\overline{h}\in S$），那么可以推导出$\int h\overline{h}\ dm=0$，进而得到$h=0$。

所以到这里我得到一个等价结论：$S$对每个$p<2$都在$L^p$中稠密，当且仅当存在非零的$g\in L^2$，使得对所有$q>2$的$h\in L^q$都有$\int gh\ dm=0$。

现在我卡住的地方是：有没有可能构造出这样的$g$？或者有没有其他更直接的方法来解决这个问题？

麻烦各位大佬帮忙指点一下，提前感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathBS