Huybrechts复几何教材习题2.3.7与2.3.10求解求助

嗨，我来帮你梳理这两个习题的思路，先从你已经上手的第一题说起：

第一题：从$\mathbb{P}^n \setminus {x}$到$\mathbb{P}^{n-1}$的全纯映射 #

你选$x=[1:0:\dots:0]$的特殊情况完全正确，这个构造可以推广到任意点$x$，我们一步步补全细节：

1. 线性系统的一般描述：对于任意$x=[a_0:a_1:\dots:a_n] \in \mathbb{P}^n$，$H0(\mathbb{P}^{n,\mathcal{O}(1))$里满足$s(x)=0$的截面$s$，对应就是线性形式$\sum_{i=0}}n c_i z_i$满足$\sum_{i=0}^n c_i a_i = 0$——也就是$\mathbb{C}^{{n+1}$中与向量$(a_0,\dots,a_n)$正交的子空间，维度为$n$，所以它对应的射影空间就是$\mathbb{P}}{n-1}$。

2. 全纯映射的定义：对于任意$y=[y_0:\dots:y_n] \neq x$，$\varphi(y)$可以理解为这个正交子空间上的「评价映射」，更直观的几何解释是从点$x$出发的中心投影：把$\mathbb{P}^{n$中每个不等于$x$的点$y$，沿着过$x$的直线投射到某个固定超平面（比如与$x$正交的超平面）上，这个超平面就是$\mathbb{P}}{n-1}$对应的空间。

3. 几何描述：不管$x$选在哪里，这个映射的核心几何意义都是以$x$为中心的射影投影——相当于把$\mathbb{P}^{n$压缩到一个$n-1$维的射影子空间上，所有过$x$的直线都会被映射成$\mathbb{P}}{n-1}$里的单个点。你选的特殊情况（以$[1:0:\dots:0]$为中心投影到$z_0=0$超平面）完美契合这个解释。

第二题：Veronese曲线的诱导映射（分两种情况） #

先回忆Veronese映射$\varphi:\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^{2$：它把$[x:y]$映到$[x}2:xy:y^{2]$，像$C$是$\mathbb{P}}2$中的二次曲线（满足方程$z_0 z_2 = z_1^{2$）。现在我们要分析第一题中的中心投影$\psi:\mathbb{P}}2 \setminus {p} \to \mathbb{P}^1$限制在$C \setminus {p}$上的诱导映射，分两种情况讨论：

情况1：$p \notin C$（投影中心不在二次曲线上） #

此时，过$p$的每条直线与$C$恰好交于两个点（二次曲线和直线的交点数为2，且$p$不在$C$上，不会出现切线重合的情况）。诱导映射$C \setminus {p} \to \mathbb{P}^{1$的作用是：把$C$上的点$q$映射到直线$pq$对应的$\mathbb{P}}1$中的点。

这个映射本质是2对1的全纯分歧覆盖：每条过$p$的直线对应$C$上的一对点，反过来$\mathbb{P}^1$中的每个点对应$C$上的两个点。分歧点出现在过$p$的直线与$C$相切的位置——从$p$到$C$有两条切线，对应的$C$上的切点就是分歧点，每个分歧点的分歧指数为2。

情况2：$p \in C$（投影中心在二次曲线上） #

此时，过$p$的直线中，有一条是$C$在$p$处的切线，其余直线都和$C$交于$p$与另一个唯一的点。诱导映射$C \setminus {p} \to \mathbb{P}^1$是1对1的全纯同构：每条过$p$的非切线直线，对应$C$上唯一的点$q \neq p$，而切线对应$p$本身（已经被去掉）。

用坐标验证更直观：取$p=[1:0:0]$（在$C$上，满足$1*0=0^2$），投影映射$\psi$是$[z_0:z_1:z_2] \mapsto [z_1:z_2]$。$C$上的点$q \neq p$是$[x^2:xy:y2]$（$y \neq 0$），代入得$\psi(q)=[xy:y^{2]=[x:y]$，而$[x:y]$可以取遍$\mathbb{P}}1$的所有点，说明这个诱导映射是双射且全纯，因此是全纯同构。

总结一下：

• 当$p \notin C$时，诱导映射是$\mathbb{P}^1$上的2次分歧覆盖；
• 当$p \in C$时，诱导映射是全纯同构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Neo