关于验证实数集上指定集族中P为概率测度的疑问（含提示相关困惑）

问题背景 #

设 $\Omega=\mathbb{R},$
$$\mathcal{F} = {A \subset \mathbb{R}: \text{either } A \text{ or } A^c \text{ is countable}}$$
其中概率函数定义为：

• 若$A$是可数集，则$P(A)=0$；
• 若$A$是不可数集，则$P(A)=1$。

需要证明$P$是概率测度，题目给出的提示是：你需要证明如果${A_n}$是$\mathcal{F}$中任意两两不交的可数集族，那么其中最多只能包含一个不可数集。

我已经完成了$\mathcal{F}$是$\sigma-$代数的证明，下面是针对$P$为概率测度的证明尝试：

我的证明尝试 #

(1) 验证规范性：$P(\Omega)=1$ #

因为$\Omega = \mathbb{R}$是不可数集，根据$P$的定义直接可得$P(\Omega)=1$，这一步没有问题。

(2) 验证可数可加性 #

假设${A_n}_{n=1}^\infty$是$\mathcal{F}$中两两不交的集合（即对任意$i \neq j$，$A_i \cap A_j = \varnothing$），我分两种情况进行讨论：

• 情况(a)：所有$A_n$均为可数集
  可数个可数集的并集仍然是可数集，因此$\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$是可数集，所以$P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=0$。而$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}0=0$，显然等式成立。
• 情况(b)：存在某个$m \in \mathbb{N}$，使得$A_m$是不可数集
  由于$A_m \in \mathcal{F}$，根据$\mathcal{F}$的定义，$A_m$的补集$A_m^c$是可数集。又因为对任意$j \neq m$，$A_j$与$A_m$不交，所以$A_j \subseteq A_m^c$，由此可推出所有$j \neq m$的$A_j$都是可数集。
  同时，$A_m \subseteq \bigcup_{n=1}^{{\infty}A_n$，而$A_m$是不可数集，因此$\bigcup_{n=1}}{\infty}A_n$必然也是不可数集，于是$P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=1$。
  另一方面，$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)=P(A_m)+\sum_{j \neq m}P(A_j)=1+\sum_{j \neq m}0=1$，等式同样成立。

我的困惑 #

虽然上面的两种情况看起来已经覆盖了所有可能的情形，且可数可加性的验证似乎是成立的，但我不太明白提示中提到的“集族中最多只能包含一个不可数集”应该如何明确地融入到证明里？或者说，我是不是已经在情况(b)中间接用到了这个结论，但没有明确地先证明这个提示里的命题？希望能有人帮我梳理清楚这一点，让证明逻辑更严谨。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sasa