关系的对称性与反对称性判定疑问

假设我们有集合 $S = {1, 2}$，在这个集合上定义了两个关系：

• $ρ = {(1, 1),(1, 2),(2, 1)}$
• $µ = {(1, 1),(2, 2)}$

关于对称性的困惑 #

我现在在判断这两个关系是否符合对称关系的定义——只要 $(a,b)$ 属于这个关系，那么 $(b,a)$ 也必须属于这个关系。

我自己梳理了一下：$ρ$ 应该是对称的吧？毕竟：

• 里面的 $(1,1)$ 反过来还是它自己，肯定在 $ρ$ 里；
• 有 $(1,2)$ 就有对应的 $(2,1)$，也在 $ρ$ 里；
• 同理，$(2,1)$ 对应的 $(1,2)$ 也存在。

那 $µ$ 是不是不对称呢？这里我有点拿不准，想确认一下。

关于反对称性的困惑 #

然后是反对称性的判断，我自己试着推了一遍，但还是有点迷糊，想问问大家我的推导对不对：

针对关系 $ρ$

$ρ$ 里有 $(1,2)$ 和 $(2,1)$，这两个有序对不相等，但它们同时存在于关系中。按照反对称的定义——如果 $(a,b)$ 和 $(b,a)$ 都在关系里，那么必须满足 $a = b$，那是不是就说明 $ρ$ 不是反对称的？

针对关系 $µ$

$µ$ 里只有 $(1,1)$ 和 $(2,2)$，都是 $(a,a)$ 的形式，不存在 $a≠b$ 但 $(a,b)$ 和 $(b,a)$ 同时出现的情况，是不是就满足反对称的定义，所以 $µ$ 是反对称的？但我对这个结论还是有点困惑，总觉得哪里没搞透。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AliceRathbone