波兰空间上概率测度的弱收敛

问题陈述 #

设$X$是一个波兰空间，我们已知$X$上的概率测度空间在弱拓扑下同样是波兰空间。现在考虑一族概率测度$(\mu_k)$，满足：对任意有界连续函数$g$，当$k,l \to \infty$时，$|\int_X g(d\mu_k - d\mu_l)| \to 0$。请问我们能否断言$\mu_k$在弱拓扑下收敛到某个概率测度$\mu$？

分析思路 #

我来拆解一下这个问题的核心逻辑：

• 要是放在**拓扑向量空间（TVS）**的语境里，题目给出的条件其实就说明这个测度序列是柯西网。而如果空间具备完备性，那必然存在对应的极限，自然就能得到弱收敛的结论。但麻烦的是，一般度量空间未必是向量空间，柯西序列的概念得依托明确的度量才能成立——而弱收敛对应的度量通常很难直接操作。
• 不过如果我们把$X$限定为豪斯多夫波兰空间的话，情况就不一样了：此时$X$上的有限Radon测度构成一个拓扑向量空间，而概率测度是这个空间中的闭凸子集。题目里那个关于有界连续函数积分的条件，刚好对应这个TVS上的半范数拓扑，所以借助完备性，这个序列肯定会收敛到某个概率测度。只是这个结论的前提比原问题的条件稍强了一点（多了豪斯多夫的要求）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Motun