关于平移集x+A勒贝格可测性证明的逻辑疑问
我在研究这个勒贝格可测集平移不变性的证明时，卡在了最后一步——为啥$ m\big( x + B \big) \geq m\Big( (B + x) \cap (A + x) \Big) + m\Big( (B + x) \cap (x + A^c) \Big)$就能推出$x + A$是勒贝格可测的呢？先把原问题里的命题和证明贴出来：
命题1
$A\subset \mathbb{R}$是勒贝格可测集当且仅当$x + A = {x+y : y\in A}$是勒贝格可测集。
原证明过程
只需要证明一个方向就行，因为$A = (x+A) + (-x)$（把$x+A$平移$-x$就回到$A$了）。假设$A$是可测的，那么对任意$B\subset\mathbb{R}$，都满足勒贝格可测的定义式：
$$m\big( B \big) \geq m\big( B \cap A \big) + m\big( B \cap A^c \big)$$
接下来利用勒贝格外测度的平移不变性（任意集合$S$平移$x$后，外测度不变，即$m(x+S)=m(S)$），还有集合运算的性质：
- $(B\cap A)+x = (B+x)\cap(A+x)$
- $(B\cap A^c)+x = (B+x)\cap(x+Ac)$，而且$(x+A)c = x+A^c$（平移后的补集等于补集平移）
把这些代入原不等式，就得到：
$$ m\big( x + B \big) \geq m\Big( (B + x) \cap (A + x) \Big) + m\Big( (B + x) \cap (x + A^c) \Big)$$
原证明说这就推出了$x+A$可测，这一步的关键其实是回到勒贝格可测的定义：
要搞懂这一步，得先回忆勒贝格可测集的定义：一个集合$E\subset\mathbb{R}$是勒贝格可测的，当且仅当对任意集合$C\subset\mathbb{R}$，都有
$$m(C) \geq m(C\cap E) + m(C\cap E^c)$$
（补充：外测度本身有次可加性，所以天然有$m(C) \leq m(C\cap E)+m(C\cap E^c)$，所以其实等价于$m(C)=m(C\cap E)+m(C\cap E^c)$）
现在我们要证明$x+A$是可测的，就需要对任意$C\subset\mathbb{R}$，验证上面的定义式成立。
看原证明里的不等式，我们可以把$C$看作是任意的$x+B$（因为每个集合$C$都能写成某个$B$平移$x$得到，只要取$B=C+(-x)$就行）。把$B=C-x$代入原不等式：
左边是$m(x+B)=m(x+(C-x))=m(C)$
右边是$m((C-x+x)\cap(x+A)) + m((C-x+x)\cap(x+A^c)) = m(C\cap(x+A)) + m(C\cap(x+A)^c)$
这样就得到了对任意$C$，都有$m(C) \geq m(C\cap(x+A)) + m(C\cap(x+A)^c)$，完全符合勒贝格可测集的定义！所以$x+A$是勒贝格可测的。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Algo
