林登鲍姆代数的一般性定义疑问：任意逻辑下的构造与表示问题

我在所有讨论林登鲍姆代数的资料里发现，似乎都是从某个代数出发，诱导出林登鲍姆代数元素上的运算。比如在命题演算中，假设命题变元集合 $X={x_1, x_2}$，如果公式 $a$ 和 $a'$ 是可证等价的，$b$ 和 $b'$ 也是可证等价的，那么 $a \implies b$ 和 $a' \implies b'$ 同样是可证等价的。如果用 $\bar{a}$ 表示林登鲍姆代数 $L[X]$ 中公式 $a$ 的等价类，那么通过定义：

$$\bar{a} \implies \bar{b} = \overline{a \implies b} \tag{1}$$

就能把 $L[X]$ 变成一个布尔代数。

我的疑问是：我们能否从任意逻辑出发，仍然以这种方式定义林登鲍姆代数？

举个例子：考虑命题演算中的两个公式 $a, b$，它们属于 $X$ 上的自由命题代数，满足 $a \vdash b$ 且 $b \vdash a$。我们选取这两个 entailment 的证明 $A$ 和 $B$，然后定义一种新逻辑：它的语言和赋值规则沿用命题逻辑，但仅把证明集合限定为 ${A, B}$。这种情况下，等式(1)是否不再成立？那对于这种逻辑，是否还存在林登鲍姆代数的典范表示？

再进一步，如果我们的逻辑连“代数结构”都没有呢？我们仍然可以定义赋值和证明，但此时林登鲍姆代数会是什么样的结构？如果没有初始代数，又怎么通过初始代数的运算来诱导林登鲍姆代数的运算？我感觉自己可能完全搞混这个概念了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者G Aker