关于无限维Banach空间中闭子空间与其拓扑补的维数与余维数关系的确认问询

先给大家铺垫个基础前提：

两个相同向量空间的Hamel基具有相同的基数，因此我们将向量空间的维数定义为其任意一个Hamel基的基数。

我想跟大家确认下我下面的理解是否正确，以及后续的结论是否成立：

设$E$是无限维Banach空间，$G$是$E$的闭子空间，$L$是$G$的拓扑补——也就是$L$是$E$的闭子空间，满足$G\cap L = {0}$且$G+L=E$。

• 根据基数算术，有$\dim G +\dim L = \dim E$。这个等式其实对应了希尔伯特空间里的一个相关结论。
• 根据秩-零化度定理，又有$\operatorname{codim} L + \dim L = \dim E$。

我原本打算借助下面这个引理来推导出$\dim G = \operatorname{codim} L$：

引理：设$A, B, C$为非空集合。若$|A|+|B| = |A|+|C|$，则$|B|=|C|$。其中$|A|$表示集合$A$的基数。

不过后来看到有评论说上面这个引理其实是不成立的，所以我现在想请教大家：$\dim G = \operatorname{codim} L$这个结论到底还能不能成立呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Analyst