关于证明“若E(X²)=0则P(X=0)=1”的技术问询

嗨，我来帮你理清楚这个推导逻辑，核心就是利用期望的非负性和概率的基本性质拆解分析~

首先，你已经明确了离散型随机变量的二阶期望定义：
$$E(X^2) = \Sigma_{\omega \in \Omega} p(\omega)X^2(\omega)$$
以及事件${X=0}$对应的样本点集合：
$${X=0} = {\omega\in\Omega|X(\omega)=0}$$

我们可以把样本空间$\Omega$拆成两个互斥的子集：${X=0}$和它的对立事件${X\neq0}$，这样期望的求和就能分成两部分：
$$E(X^2) = \Sigma_{\omega \in {X=0}} p(\omega)X^2(\omega) + \Sigma_{\omega \in {X\neq0}} p(\omega)X^2(\omega)$$

先看第一部分：对于$\omega\in{X=0}$，$X(\omega)=0$，所以$X^2(\omega)=0$，这部分的求和结果直接是0。

既然已知$E(X^2)=0$，那就意味着第二部分的求和必须也等于0：
$$\Sigma_{\omega \in {X\neq0}} p(\omega)X^2(\omega) = 0$$

再看第二部分的每一项：因为$\omega\in{X\neq0}$，所以$X(\omega)\neq0$，那么$X^2(\omega) > 0$；同时概率$p(\omega) \geq 0$（概率的非负性）。要这些非负项的和为0，唯一的可能就是每一项都等于0——而因为$X^2(\omega) > 0$，所以只能是所有$\omega\in{X\neq0}$对应的$p(\omega)=0$。

接下来计算${X\neq0}$的概率：
$$P(X\neq0) = \Sigma_{\omega \in {X\neq0}} p(\omega) = 0$$

最后根据概率的互补性：
$$P(X=0) = 1 - P(X\neq0) = 1 - 0 = 1$$

这样就完整推导出结论啦！另外补充一句，这个结论不仅对离散型随机变量成立，对连续型随机变量也适用（把求和换成积分，逻辑是一样的：非负可积函数的积分等于0，意味着函数几乎处处为0）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Newbie1000